1. Analysis (Analiz) - Integralrechnung (İntegral Hesaplama)
Frage:
Gegeben sei die Funktion f(x)=x3⋅ex2f(x)=x3⋅ex2.
a) Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫f(x) dx∫f(x)dx durch partielle Integration.
b) Bestimmen Sie den exakten Wert des bestimmten Integrals ∫01x3⋅ex2 dx∫01x3⋅ex2dx.
c) Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral ∫0∞x3⋅e−x2 dx∫0∞x3⋅e−x2dx konvergiert, und berechnen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
2. Lineare Algebra - Eigenwerte und Diagonalisierung
Frage:
Gegeben sei die Matrix
A=(3−10−12−10−13)
A=
3−10−12−10−13
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von AA.
b) Finden Sie eine orthogonale Matrix PP, sodass PTAPPTAP eine Diagonalmatrix ist.
c) Berechnen Sie A10A10 mithilfe der Diagonalisierung.
3. Geometrie - Vektorrechnung
Frage:
Im dreidimensionalen Raum seien die Geraden
g1:r⃗=(102)+t⋅(2−11)
g1:r
=
102
+t⋅
2−11
und
g2:r⃗=(031)+s⋅(12−1)
g2:r
=
031
+s⋅
12−1
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass g1g1 und g2g2 windschief sind.
b) Berechnen Sie den Abstand zwischen g1g1 und g2g2.
c) Bestimmen Sie die Gleichung einer Ebene EE, die parallel zu beiden Geraden verläuft und von beiden den gleichen Abstand hat.
4. Zahlentheorie - Modulare Arithmetik
Frage:
a) Lösen Sie das folgende lineare Kongruenzsystem:
{x≡2 (mod 5)x≡3 (mod 7)x≡4 (mod 9)
⎩
⎨
⎧x≡2 (mod 5)x≡3 (mod 7)x≡4 (mod 9)
b) Beweisen Sie, dass für jede ungerade Primzahl pp die Kongruenz x2≡−1 (mod p)x2≡−1 (mod p) genau dann eine Lösung hat, wenn p≡1 (mod 4)p≡1 (mod 4) ist.
5. Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie
Frage:
In einer Urne befinden sich 5 rote, 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei rote Kugeln gezogen werden.
b) Sei XX die Anzahl der gezogenen grünen Kugeln. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von XX.
c) Nun wird 100-mal mit Zurücklegen gezogen. Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30 grüne Kugeln gezogen werden, mithilfe der Normalverteilung.
Viel Erfolg! (Başarılar!)
Frage:
Gegeben sei die Funktion f(x)=x3⋅ex2f(x)=x3⋅ex2.
a) Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫f(x) dx∫f(x)dx durch partielle Integration.
b) Bestimmen Sie den exakten Wert des bestimmten Integrals ∫01x3⋅ex2 dx∫01x3⋅ex2dx.
c) Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral ∫0∞x3⋅e−x2 dx∫0∞x3⋅e−x2dx konvergiert, und berechnen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
2. Lineare Algebra - Eigenwerte und Diagonalisierung
Frage:
Gegeben sei die Matrix
A=(3−10−12−10−13)
A=
3−10−12−10−13
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von AA.
b) Finden Sie eine orthogonale Matrix PP, sodass PTAPPTAP eine Diagonalmatrix ist.
c) Berechnen Sie A10A10 mithilfe der Diagonalisierung.
3. Geometrie - Vektorrechnung
Frage:
Im dreidimensionalen Raum seien die Geraden
g1:r⃗=(102)+t⋅(2−11)
g1:r
=
102
+t⋅
2−11
und
g2:r⃗=(031)+s⋅(12−1)
g2:r
=
031
+s⋅
12−1
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass g1g1 und g2g2 windschief sind.
b) Berechnen Sie den Abstand zwischen g1g1 und g2g2.
c) Bestimmen Sie die Gleichung einer Ebene EE, die parallel zu beiden Geraden verläuft und von beiden den gleichen Abstand hat.
4. Zahlentheorie - Modulare Arithmetik
Frage:
a) Lösen Sie das folgende lineare Kongruenzsystem:
{x≡2 (mod 5)x≡3 (mod 7)x≡4 (mod 9)
⎩
⎨
⎧x≡2 (mod 5)x≡3 (mod 7)x≡4 (mod 9)
b) Beweisen Sie, dass für jede ungerade Primzahl pp die Kongruenz x2≡−1 (mod p)x2≡−1 (mod p) genau dann eine Lösung hat, wenn p≡1 (mod 4)p≡1 (mod 4) ist.
5. Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie
Frage:
In einer Urne befinden sich 5 rote, 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei rote Kugeln gezogen werden.
b) Sei XX die Anzahl der gezogenen grünen Kugeln. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von XX.
c) Nun wird 100-mal mit Zurücklegen gezogen. Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30 grüne Kugeln gezogen werden, mithilfe der Normalverteilung.
Viel Erfolg! (Başarılar!)
