Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.
n:Bir Tam Sayı
Ardışık Tek Sayı : 2n+58+60 (2'şer artan ardışık çift sayı)
Ardışık Sayıların Toplamı
Ardışık Sayma Sayılarının Toplamı:
1 + 2 + 3.... + n = n.(n + 1) / 2
Ardışık Çift Doğal Sayıların Toplamı:
2+4+6+ ... + 2n = n.(n+1)
Ardışık Tek Doğal Sayıların Toplamı:
1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n
Ardışık toplamlı ardışık Doğal Sayıların Toplamı:
1 + 2 + 3....n = n.(n + 1) / 2
toplamına sıra ile 1,2,3...n değerlerini verirsek şöyle bir dizi veya seri elde ederiz
1 + 3 + 6 + 10....n.(n + 1) / 2! = n.(n + 1).(n + 2) / 3!
Aynı işlemi bir kez daha yineleyelim
1 + 4 + 10 + 20....n.(n + 1).(n + 2) / 3! = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) / 4!
formülü genelleştirirsek işlem sırası r olmak üzere
yani
1 + 2 + 3....n = n.(n + 1) / 2 için r=0
1 + 3 + 6 + 10....n.(n + 1) / 2! = n.(n + 1).(n + 2) / 3! için r=1
1 + 4 + 10 + 20....n.(n + 1).(n + 2) / 3! = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) / 4! için r=2
ifadeyi genelleştirirsek; r=r için
Γ(n) = (n − 1)! olduğu hatırlanırsa
Γ(n + r) = (n + r − 1)!
sigma altında paydaki en son terim n+r olacak
r yerine r+1 konursa
Γ(n + r + 1) = (n + r)!
1.2.3.4...(n-1).n.(n+1).(n+2)...(n+r)/(n-1)!=n(n+1)(n+2)...(n+r)
olacaktır,bu nedenle;
Γ(n) = (n − 1)! olduğu için
alınırsa;
sonuç
ve
dikkate alınırsa
ile çift doğal sayıların
ile tek doğal sayıların ardışık toplamlarının,toplamlarının... toplamı bulunabilir.
Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisi
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Pascal üçgenini incelersek üçgenin sağ kenarını sadece 1 lerin oluşturduğu
1,1,1....1 dizisi vardır.
daha içte;
1,2,3....n dizisi vardır.
daha içte;
1,3,6,10....n(n + 1) / 2 dizisi vardır.
ardışık toplamların,toplamların,...., toplamı bizi en sol alttaki farka götürür.Burdaki örnekte bu değer 8-1=7'dir.
