BİNOM AÇILIMI
(a . b)m = am . bm
( a )m = am dir. Fakat ( a ± b)m ¹ am ± bm dir.
b bm
Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.
x,y Î R , n Î Z+ = {1 , 2 , 3 , .....} için (x + y)n =S (n,r) . xn-r . yr dir.
Bu formüle binom açılımı denir.
( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
0 1 r n
Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.
Özellikleri :
1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.
2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.
3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.
Buna göre;
(1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.
4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim
C( n , r ) x n-r . y r dir.
5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
r n - r
sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.
6) (x + y)naçılımında (k < n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)
k = ( n + 2) – r ile bulunur.
Örnek :
( 3a + b )4 açılımını yapınız.
Çözüm :
(3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 )4 b
0 1 2 3 4
= 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4
Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.
Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.
Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.
a=b= 1 için
