Karmaşık türevlilik
Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorf) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde,
f(z) = u(z) + iv(z)
z ∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa
olarak tanımlanır.
Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h → 0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa
[ATTACH=full]119436[/ATTACH]
elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa
[ATTACH=full]119437[/ATTACH]
elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği
[ATTACH=full]119438[/ATTACH]
ifadesini verecektir. Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir.
Tersine, f:C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir.
Diğer temsiller
Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman (▽n, ▽s) 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de
[ATTACH=full]119439[/ATTACH]
eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler
[ATTACH=full]119440[/ATTACH]
halini alır.
f için bu iki denklem birleştirildiğinde
[ATTACH=full]119441[/ATTACH]
elde edilir.
Homojen olmayan denklemler
Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:
[ATTACH=full]119445[/ATTACH]
Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2)
[ATTACH=full]119443[/ATTACH]
Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ ∈ D için
[ATTACH=full]119444[/ATTACH]
ifadesi elde edilir.
