Delta metodu

Suskun

V.I.P

V.I.P

• 27 Nsn 2011

• #1

Delta Metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir.

Tek Değişkenli Delta Metodu
Xn dağılımda

koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun. ( Burada θ ve σ2 sonlu değere sahip sabitleri ve

dağılımda yakınsamayı temsil etmektedir.)

Veri bir g fonksiyonu ve belli bir θ değeri için g'(θ)'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım. O halde dağılımda,

olur.

 

Suskun

V.I.P

V.I.P

• 27 Nsn 2011

• #2

Tek Değişkenli Durumda Kanıt

g'(θ) süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır. Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır;

Burada

, Xn ve θ arasında bir değer almaktadır.

,

yı ima ettiğinden ve g'(θ) sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda

elde edilir ki burada

olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir.

İfadeleri düzenler ve

ile çarparsak

ifadesini elde ederiz.

Varsayım gereği,

olduğundan Slutsky Teoreminden

elde edilir ve kanıt tamamlanır.

 

Suskun

V.I.P

V.I.P

• 27 Nsn 2011

• #3

Çok Değişkenli Delta Metodu
Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici B gerçek değeri olan β'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir.

burada n gözlem sayısını ve Σ (simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir. B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)'yi

olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)'nin varyansının yaklaşık olarak,

olduğunu ima eder.

(Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir.

Dolayısıyla Delta metodu,

veya tek değişken ifadesiyle,

olduğunu ima eder.