Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler,Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.
Tanım
f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü
ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε).
Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise
ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.
Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında
eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar.
Örneğin, teorem ω[SUB]f[/SUB] = log [SUP]− 2[/SUP](δ [SUP]− 1[/SUP]) iken tutar ama log [SUP]− 1[/SUP](δ [SUP]− 1[/SUP]) iken tutmaz.
Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu
ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar.
Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.
Kesinlik
Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani
olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:
olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki
ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.
kaynakça
Vikipedi
