Doğrusal cebir Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.
Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.
Temelleri Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır. Yöneyler vektör olarakta bilinir. Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.
Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.
Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.
Yöneyler ve Dizeyler
Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:
Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:
Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:
Doğrusal cebirde, bir M dizeyin boşuzayı (kernel, null space) Mx=0 bağıntısını sağlayacak şekilde x yöneylerinin oluşturduğu kümedir. Bir M dizeyinin boşuzay boyutu M dizeyine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız x yöneylerine göre hesaplanır.
Tanım
m × n boyutlarına sahip bir M dizeyinin boşuzay kümesi aşağıdaki şekilde gösterilir:
burada 0, m bileşenli bir sıfır yöneyine karşılık gelmektedir. Mx = 0 şeklindeki dizey denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:
M dizeyinin boşuzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.
Örnek
Aşağıdaki M dizeyini düşünelim
Bu M dizeyinin boşuzayını bulmak için, (x, y, z) ∈ R3 üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz
Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:
Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde
çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi birşey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği
Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılıp) Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, cok onemli matematiksel uygulamalarda da kullanılmaktadır. Bunlar arasında vektörlere uygulanan lineer cebirde, sonzuz seriler ve çarpımların entegrasyonu uygulanmasinda matematik analizde ve varyans ve kovaryans uygulaması icin istatistik ve olasilik kurami'nda bu esitsizlik ok kullanılmaktadır.
Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafindan 1821de ve entegraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850da ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888de ortaya atılmıştır
Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir reel içsel çarpım uzayında veya kompleks bulunan tüm x ve y vektörler için şu ifade geçerlidir:
Bu ifadenin her iki tarafının da karekökü alınırsa ifade vektörlerin normları kullanılarak ayni özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:
Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak x ve y vektörleri birbirlerine lineer olarak bağımlı olmaları halinde (yani geometrik açıklama ile birbirlerine paralel oldukları veya her iki vektörün de sıfır değerli olması halinde) gerçekleşir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği ayni yerli çarpım tarafından endüklenen topolojiye nazaran yerli çarpımın bir surekli fonksiyon olduğunu isbat etmek için kullanılır.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği Bessel eşitsizliğini test etmek için kullanılır.
Heisenberg belirsizlik ilkesi genel formülasyonu fiziksel dalga fonksiyonlarinin icsel çarpımı uzayında Cauchy-Scwarz fonksiyonları iç ürün alana Schwarz eşitsizliği kullanılarak yapılmaktadır.
Determinant
Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.
Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:
matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir:
Basit bir örnek olaraktan,
matrisinin determinantı şudur
Determinantın açık tanımı
Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktör C ya da minör M cinsinden gösterilebilir:
Determinant ve geometri
Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.
Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.
Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M i oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M in determinantı kolayca hesaplanabilir:
Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda
denkliği yazılabilir, ve burdan determinant
şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.
Ayrıca,
A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise,
B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise,
A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise,
Doğrusal denklem dizgesi
Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:
Burada üç çeşit değişken x_1, x_2 ile x_3 bulunur ve bu üç değişken üç ayrı doğrusal denklem içindedir ve böylece doğrusal denklemler (sistemi) dizge elde edilir.
Bir doğrusal dizgenin çözümü bilinmeyen değişkenlere, tüm doğrusal denklemleri aynı zamanda tatmin eden, reel sayıların tahsis edilmesidir. Yukarıdaki denklemler dizgesi için çözüm kümesi bulunur ve bu
olur.
Doğrusal denklem dizgeleri mühendislik, fizik, kimya, bilgisayar bilimi ve ekonomide pek çok uygulama alanı bulur.
Üç bilinmeyenli ve üç doğrusal denklemli bir doğrusal denklem dizgesi geometrik olarak üç boyutta üç düzeyin kesişmesi şeklinde görülür. Eğer bir çözüm bulunuyorsa, bu çözüm üç düzeyin kesişme noktasındadır.
Fizikte dönüşümçarpanı (parity) eksenlerden birinin işaretinin değiştirilmesi durumunda elde edilen sonuçla ilk girdinin arasındaki bağıntıyı gösteren çarpandır. 3-boyutta, eksenlerin üçünün işaretinin birden değiştirilmesi ile dönüşümçarpanı elde edilir:
Hilbert uzayı
Hilbert uzayı, Öklit uzayını nicem mekaniğiyle uyumlu biçime dönüştüren soyut vektör uzayıdır. Pozitif skaler çarpıma sahiptir. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Adını David Hilbert'ten almaktadır.
Jakobi özdeşliği
Matematikte Jakobi özdeşliği, ikili işlemde sıradeğiştirme durumunda işlemin sağlaması gereken bir özelliktir. Birleşme özelliğinden farklı olarak, Jakobi özdeşliği sıra değiştirmenin birleşme özelliğinin olmadığı durumlarda kullanılması gereklidir. Alman matematikçi Carl Gustav Jakob Jacobi'nin adından esinlenilerek bu isim verilmiştir. Tanım
Jakobi özdeşliği çapraz çarpım benzeri ikili bir X işlemi için, S kümesinde aşağıdaki gibidir;
Matris (matematik)
Bir matrisin dizilişi. "m" satırları, "n" sütunları temsil eder
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
BİLGİLER: Matris (dizey) sayma sayılarını dikdörtgen halinde dizip gösteren bir matematik tablodur. Örneğin:
Bir diğer notasyona göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır:
Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizilip gösterilen sayal sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır sayısı ile sutun sayısı birlikte verilmesi ile ifade edilir. Örnek olan verilen matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir. Matrisin boyutu satır sayısı ve sütun sayısının ayrı ayrı verilmesi ile ifade edilir. Örnek matrislerin boyutu 4 ve 3 olur.
Genel matematiksel notasyon olarak bir matris bir büyük harf ile ifade edilir. Bazan matrislerin daha açık olarak ifadesi notasyonda kullanılan büyük harf vurgulanması ile yapılır. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa tipografik kalın harf vurgusu ile; elle yazısı ile matris harfinin altına bir (bazan iki) çizgi veya küçük dalgalı bir cizgi koymak suretiyle yapılır. Daha acik bir sekilde notasyon matrisin parantez icinde küçük harfle ifade edilen genel elemanı için i satır ve j sütun alt indisli ve parantez disinda matris buyuklugu verilerek ifade edilir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi
A veya
veya
olarak notasyonla ifade edilir.
Böylece genel olarak m ve n pozitif tamsayılar,
ve
olmak üzere
sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matris (dizey) olur. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise mxn türünden matris denir:
Matematikte, nokta çarpım veya skaler çarpım, değer olarak iki vektör alan ve sonuç olarak skaler bir değer döndüren işleme denir.
a = [a1, a2, … , an]
b = [b1, b2, … , bn] şeklinde gösterilen a ve b vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde bulunur:
Örneğin, a=[3,-2,5] ve b=[-1,-4,2] için
a.b= (3 x -1) + (-2 x -4) + (5 x 2) = -3 + 8 + 10 = 15 sonucunu verir.
Sayıl alan
Matematikte ve fizikte sayıl alan (skaler) düşünülen uzayın herbir noktasına sayıl bir değer verir. Buradaki sayıl değer matematiksel bir sayı veya fiziksel bir nicelik olabilir. Fizikte bu tür alanlara örnek olarak; uzayda sıcaklık dağılımı, akışkanda basınç dağılımı ve Higgs alanında olduğu gibi spin sayısı sıfır kuantum alanı gösterilebilir. Bu tür alanlar sayıl alan kuramının çalıma konusudur. Fizikte kullanımı
Fizikte, sayıl alanlar çoğunlukla bir alanla belirlenen kuvvetlerin potansiyel enerjisini tanımlamakta kullanılırlar. Kuvvet yöneyli (vektörel) bir niceliktir ve sayıl alanın yöntürevini aldığımızda bu kuvveti elde edebiliriz. Örnekler:
Potansiyel alanlar (Klasik fizikte kütleçekimsel potansiyel veya elektrik potansiyel) yönsüz alanlardır ve bilindik kuvvetleri tanımlarlar.
Meteorolojide kullanılan sıcaklık, nem veya basınç alanları sayıl alanların örneklerindendir
Sıfır noktası
Kartezyen eksenler sisteminde sıfır noktası
Matematikte sıfır noktası (orijin) düz uzayda O harfi ile gösterilen özel bir noktadır. Kartezyen eksenler sisteminde eksenlerin kesiştiği nokta sıfır noktasıdır. Düz uzayda sıfır noktası herhangi bir uygun nokta olarak seçilebilir. Bu seçim işlem sonucunda herhangi bir değişikliğe yol açmayacaktır. Sıfır noktası seçilirken genellikle yapılacak işleme göre uygun olan yer seçilir.
En çok kullanılan eksen sistemler, iki boyutlu ve üç boyutlu, iki veya üç birbirine dik eksenden oluşur. Bu iki veya üç eksenin kesiştiği noktalara sıfır noktası denir ve iki boyutta (0,0), üç boyutta da (0,0,0) ile gösterilir.
Sıfır noktasına göre simetri
Bu çizge sıfır noktasına göre simetriktir. x=y çizgisine göre yansıması düşünüldüğünde aynı görüntü elde edilir ve simetrik olduğu anlamına gelir.
Bir çizgenin y = x çizgisine göre yansıması alındığında eğer aynı çizge elde ediliyorsa bu o çizgenin sıfır noktasına göre simetrik olduğu anlamına gelir. Bu durum önce x-eksenine göre sonra da y-eksenine göre çizgenin 180 derece dönderilmesi ile de elde edilir.
Simetrik matris
Doğrusal cebirde, transpozu kendisine eşit olan matrislere simetrik matris denir. A bir simetrik matris olsun. Bu durumda:
Simetrik matrislerin elementleri matris köşegenine göre simetriktir. A nın elementleri aij şeklinde gösterilsin. Böylece
eşitliği her i ve j indeksi için geçerlidir. Örneğin aşağıdaki 3x3 matris simetriktir:
Yukardaki açıklamalardan anlaşılacağı üzere, köşegen bir matris simetriktir.
Doğrusal cebirde, gerçel bir simetrik matris gerçek bir iç-çarpım uzayında kendi-döngel (self-adjoint) bir operatörü temsil eder. Karmaşık sayılar uzayında buna karşılık gelen operatör, elementleri karmaşık olan Hermitsel (Hermityan) matrisdir. Bundan dolayı, simetrik matris denildiğinde, matris elementlerinin gerçel olduğu varsayılır.
Matematikte, nokta çarpım veya skaler çarpım, değer olarak iki vektör alan ve sonuç olarak skaler bir değer döndüren işleme denir.
a = [a1, a2, … , an]
b = [b1, b2, … , bn] şeklinde gösterilen a ve b vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde bulunur:
Örneğin, a=[3,-2,5] ve b=[-1,-4,2] için
a.b= (3 x -1) + (-2 x -4) + (5 x 2) = -3 + 8 + 10 = 15 sonucunu verir.
Sayıl alan
Matematikte ve fizikte sayıl alan (skaler) düşünülen uzayın herbir noktasına sayıl bir değer verir. Buradaki sayıl değer matematiksel bir sayı veya fiziksel bir nicelik olabilir. Fizikte bu tür alanlara örnek olarak; uzayda sıcaklık dağılımı, akışkanda basınç dağılımı ve Higgs alanında olduğu gibi spin sayısı sıfır kuantum alanı gösterilebilir. Bu tür alanlar sayıl alan kuramının çalıma konusudur. Fizikte kullanımı
Fizikte, sayıl alanlar çoğunlukla bir alanla belirlenen kuvvetlerin potansiyel enerjisini tanımlamakta kullanılırlar. Kuvvet yöneyli (vektörel) bir niceliktir ve sayıl alanın yöntürevini aldığımızda bu kuvveti elde edebiliriz. Örnekler:
Potansiyel alanlar (Klasik fizikte kütleçekimsel potansiyel veya elektrik potansiyel) yönsüz alanlardır ve bilindik kuvvetleri tanımlarlar.
Meteorolojide kullanılan sıcaklık, nem veya basınç alanları sayıl alanların örneklerindendir
Sıfır noktası
Kartezyen eksenler sisteminde sıfır noktası
Matematikte sıfır noktası (orijin) düz uzayda O harfi ile gösterilen özel bir noktadır. Kartezyen eksenler sisteminde eksenlerin kesiştiği nokta sıfır noktasıdır. Düz uzayda sıfır noktası herhangi bir uygun nokta olarak seçilebilir. Bu seçim işlem sonucunda herhangi bir değişikliğe yol açmayacaktır. Sıfır noktası seçilirken genellikle yapılacak işleme göre uygun olan yer seçilir.
En çok kullanılan eksen sistemler, iki boyutlu ve üç boyutlu, iki veya üç birbirine dik eksenden oluşur. Bu iki veya üç eksenin kesiştiği noktalara sıfır noktası denir ve iki boyutta (0,0), üç boyutta da (0,0,0) ile gösterilir.
Sıfır noktasına göre simetri
Bu çizge sıfır noktasına göre simetriktir. x=y çizgisine göre yansıması düşünüldüğünde aynı görüntü elde edilir ve simetrik olduğu anlamına gelir.
Bir çizgenin y = x çizgisine göre yansıması alındığında eğer aynı çizge elde ediliyorsa bu o çizgenin sıfır noktasına göre simetrik olduğu anlamına gelir. Bu durum önce x-eksenine göre sonra da y-eksenine göre çizgenin 180 derece dönderilmesi ile de elde edilir.
Simetrik matris
Doğrusal cebirde, transpozu kendisine eşit olan matrislere simetrik matris denir. A bir simetrik matris olsun. Bu durumda:
Simetrik matrislerin elementleri matris köşegenine göre simetriktir. A nın elementleri aij şeklinde gösterilsin. Böylece
eşitliği her i ve j indeksi için geçerlidir. Örneğin aşağıdaki 3x3 matris simetriktir:
Yukardaki açıklamalardan anlaşılacağı üzere, köşegen bir matris simetriktir.
Doğrusal cebirde, gerçel bir simetrik matris gerçek bir iç-çarpım uzayında kendi-döngel (self-adjoint) bir operatörü temsil eder. Karmaşık sayılar uzayında buna karşılık gelen operatör, elementleri karmaşık olan Hermitsel (Hermityan) matrisdir. Bundan dolayı, simetrik matris denildiğinde, matris elementlerinin gerçel olduğu varsayılır.
