Çözüm kümesi
denklemleri için çözüm kümesi tek bir noktada (2, 3) olur.
Bir doğrusal denklem dizgenin çözümü, bilinmeyen değişkenlere (yani x1, x2, ..., xn değişkenlerine) tüm doğrusal denklemleri aynı zamanda tatmin eden reel sayısal değerler tahsis edilmesidir. Tüm mümkün çözümlerin bir matematiksel kümesine çözüm kümesi adı verilir.
Bir doğrusal denklem dizgesi için üç ve sadece alternetif mümkün sonuç ortaya çıkabilir:
Sistemin sonsuz sayıda çeşitli çözümü bulunur;
Sistemin tek bir çözümü bulunur;
Sistemin hiçbir çözümü bulunmaz.
Geometrik yorum
İki değişkenden (x1 ve x2) oluşan bir dizge için her bir denklem x1 ve x2 eksenli dikdörtgen kordinat sıstemi grafiği içinde bir doğru ile gösterilir. Bir çözüm dizgedeki tüm denklemleri tatmin etmesi gerektiği için, çözüm kümesi bu doğruların kesişme noktasıdır ve ya tek bir doğru ya tek bir nokta ya da boş küme olarak görülür.
Üç değişkenli bir dizge için her doğrusal denklem üç boyutlu bir uzayda bir düzlem olurlar ve çözüm kümesi bu düzlemlerin kesişmesidir. Böylece çözüm kümesi ya bir düzlem, ya tek bir doğru, ya tek bir nokta ya da boş küme olur.
n sayıda değişken halinde, her bir doğrusal denklem bir n-boyutlu uzayda bir hiperdüzlem olarak ortaya çıkar. Çözüm kümesi bu hiperdüzlemlerin kesişmeleridir ve n-ye kadar herhangi bir boyutta düzlük olabilir.
Genel sonuç hali
Üç değişkenli iki denklemden oluşan bir dizgenin çözümü genellikle bir doğrudur.
Genel olarak, bir doğrusal denklemler dizgesinin sonucunun ne olabileceği, denklemler sayısı ile bilinmeyen değişkenler sayısı arasındaki bağlantılar tarafından belirlenir:
Genellikle, eğer dizgede denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısından daha küçükse ise, dizge için sonsuz sayıda çözüm bulunur. Fakat bazan tek bir "seyrek çözüm" bulma imkanı da vardır. Yani kullandığımız notasyona göre m < n ise, sonsuz çözüm vardır. Bu çeşit dizgelere kararsız dizge (underdetermined system) adı verilir.
Genellikle, eğer dizgede denklem sayısı değişken sayısı ile aynı ise, tek bir tane çözüm bulunur; yani m = n ise tek ve tek bir çözüm bulunur.
Genellikle, eğer dizgede denklem sayısı değişken sayısıdan daha büyük ise hiçbir sçözüm bulunmaz; yani m > n ise hiç bir çözüm bulunmaz.
Aşağıdaki gösterimler iki değişkenli halde ortaya çıkabilmesi mümkün üçlü sonucu göstermektedir:
Bir Denklem
İki Denklem
Üç Denklem
Verilen gösterimede; birinci dizgenin sonsuz sayıda çözümü bulunur; yani bunun noktalari mavi renkli doğru üzerindedir. İkinci dizgede tek bir çözüm bulunur; yani iki doğrunun kesişme noktası çözümdür. Üçüncü sistemde bulunan üç doğrunun ortaklaşa hiçbir noktaları bulunmaz.
Fakat şunu unutmamak gerekir; bütün bu sonuçlar sadece genellikle doğrudur. İki denklemeli ve iki değişkenli bir dizgenin hiçbir çözümü olmaması mümkündür; bu hal her iki doğru birbirine paralel ise ortaya çıkar. Üç denklemle iki değişkenli bir dizgenin çözümü olması mümkündür; bu hal eğer üç doğru birbiriyle tek noktada kesişirlerse ortaya çıkar. Genel olarak; bir doğrusal denklemler dizgesi beklenenden değişik davranış göstermesi eğer denklemler "doğrusal olarak bağımlı" iseler veye iki veya daha çok sayıda denklemlerin "tutarsız" olmaları halinde ortaya çıkar.
