Evrensel kümeler

A. TANIM​

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,

a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ​

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi​

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özellik Yöntemi​

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi​

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME​

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME​

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME​

1. Alt Küme​

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme​

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri​

i) Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Æ Ì A
iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
ıv) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.
v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.
vı) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER​

1. Kümelerin Birleşimi​

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

2. Birleşim İşleminin Özellikleri​

i) A È Æ = A
ii) A È A = A
iii) A È B = B È A
ıv) A È (B È C) = (A È B) È C
v) A Ì B ise, A È B = B
vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi​

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.

4. Kesişim Işleminin Özellikleri​

i) A Ç Æ = Æ
ii) A Ç A = A
iii) A Ç B = B Ç A
ıv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME​

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ​

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A' ile gösterilir.
A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özellikleri​

i) E = Æ
ii) Æ = E
iii) () = A
iv) A È A = E ve A Ç A = Æ dir.
v) A È B = A Ç B
vı) A Ç B = A È B
vıı) E È A = E ve E Ç A = A dir.
vııı) A Ì B ise, B Ì A dir.

I. KUVVET KÜMESI​

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI​

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

Farkla Ilgili Özellikler​

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
i) E – A = A
ii) A – B = A Ç B
iii) A – B = A È B dir.
ıv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI​

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.




Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:
s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
s(A È B) = d

Kümeler Konu Özeti​

Konu: Kümeler – Gruplar oluşturalım

Dünyadaki birçok hayvan grupları gruplar halinde yaşarlar, bunlara örnek olarak kuşlar ve karıncalar gösterilebilir.

Bu tür nesnelerin bir araya gelerek gruplar oluşturmalarına küme denir ve bu nesneler oluşturdukları kümelerin birer elemanıdır

1. Kümelerin kapalı şekillerle gösterilmesine Venn Şeması denir. Kümenin elemanları şeklin içine önüne nokta konarak yerleştirilir. Nokta konmasının sebebi elemanların bulunduğu yerin belli olmasıdır.
2. Kümenin elemanlarının küme parantezi ile {} bu şekille, kümenin elemanlarının arasına virgül konur. Buna Liste yöntemi denir. Örneğin A={at, kuş, böcek}
3. Kümenin elemanlarının cümlelerle ifade edilmesidir. Yine parantez içinde gösterilir. Örneğin; bir kümenin elemanları K={a,e,i,ı,o,ö,u,ü} ise bunu K={alfabemizdeki sesli harfler} diye de yazabiliriz. Bu tür yazıma ortak özellik yöntemi ile gösterim denir.

KÜME ÇEŞİTLERİ​

1-) Boş Küme = Elemanı olamayan kümeye boş küme denir. veya {} ile gösterilir. Farazidir (Yalan gibi gerektiği yerde kullanılmalı) Enerjisiz alan düşünülemez.

2-) Eşit Küme = Bütün elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir ve “=” ile gösterilir. Benzer küme hiçbir şey her şeyi her yönüyle öteki olmaz enazınada bir boyutları farklıdır.

3-) Denk Küme = Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir ve “” ile gösterilir. Sayısal eşitlik.

4-) Alt Küme = Bir kümenin her elemanı başka bir kümede mevcut ise ilk kümeye ikinci kümenin alt kümesi denir.

Alt Kümenin Özellikleri​

Ayrıca bir kümenin eleman sayısı m olmak üzere bu kümenin alt kümeler sayısı 2m dir. Bir de öz alt küme kavramı vardır. Eğer bir kümenin eleman sayısı m ise özalt küme sayısı 2m-1 dir.

5-) Sonlu ve Sonsuz Kümeler: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonlu olamayan kümeye sonsuz küme denir.

ÖRNEK:
A={x: -1<X<>∈Z} olmak üzere s(A)=5 sonlu bir cümledir.
A={x: -1<X<>∈IR} kümesi sonlu sayıda elemana sahip olamayıp sonsuz bir kümedir.

KUVVET KÜMESİ​

Bir A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A kümesinin kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

ÖRNEK:
A:{a, x } kümesinin kuvvet kümesini oluşturalım. A nın alt kümeleri ∅, {a},{x},{a,x} olduğundan P(A)={ ∅, {a},{x},{a,x} } dir.

n ELEMANLI BİR KÜMENİN r ELEMANLI ALT KÜMELERİ
Bir A kümesinin (n≥r olmak üzere) r elemanlı alt kümelerinin sayısını pascal üçgeni yardımıyla buluruz.

1. Evrensel küme
2. Sistem kümesi
3. Serbest Küme
4. Koşullu Küme
5. Yarı koşullu kümeler