İkili İşlem

Eğer X bir kümeyse, X x X kümesinden X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi f : X x X → X olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x + y, x x y, x * y ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her x, y ∈ X için, işlemin sonucu olan x * y elemanının gene X kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X = N (doğal sayılar kümesi) ise, x − y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin, 5 − 7 bir doğal sayı değildir. Öte yandan x * y = xy + 3 + x + y yolarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.
İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

x + y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her x,y için x * y = y * x olduğunda kullanılır.
İşlemlerde genellikle her x,y,z elemanı için (x * y) * z = r x (y * z) eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin x³ elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her x ∈ X için ex = x eşitliğini sağlayan bir e ∈ X elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse f = ef = e olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin x * y = y olarak tanımlanan işlemde her x ∈ X soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her x ∈ X için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman a = ab = b olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer f, g ∈ Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her x ∈ X için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı IdX olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

İkili işlemler matematiksel kavramlar arasında oldukça önemli bir yere sahiptir. Doğru, bir küme üzerinde tanımlanan bir ikili işlemin şartları sağlaması gereklidir. Etkisiz elemanlar ve yutan elemanlar gibi kavramlar ise işlemlerin özelliklerini belirlerken önemli rol oynamaktadır. Fonksiyonların bileşke işlemi de matematikte sıkça kullanılan bir kavramdır ve f o g şeklinde tanımlanan bu işlem, özdeşlik fonksiyonunu etkisiz eleman olarak kullanır. Matematikteki bu temel kavramlar sayesinde çeşitli matematiksel analizler ve hesaplamalar yapılabilmektedir.