İntegral testi

Suskun

V.I.P
V.I.P




Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir.

Testin ifadesi
Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, ∞) aralığında tanımlı monoton azalan bir f fonksiyonunu ele alalım. O zaman,

502afbbeb7b77b8cb1d9695911a297f1.png


serisi ancak ve ancak

b52020efe721f3837fae3bf08712ce76.png


integrali sonlu ise, yakınsaktır. Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar.


Kanıt

Kanıt basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n − 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır

f, monoton azalan bir fonksiyon olduğu için,

d1a5253d3176386d8a48b25fba8f7cd3.png


ve

11c8756810733abf91255e5a6dd41326.png


olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, N 'den büyük n için,

357f1ee6fd0b7387134c516722cf3a0f.png


Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir M (M, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla

dcda6b08c94fac25f1742b0d977a1411.png


elde ederiz. M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz.


 
Geri
Top