İşlem, Modüler Aritmetik, Polinom ve İkinci ve Üçüncü Dereceden Denklemler

İŞLEM​

TANIM​

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşlemler; + , – , : , x, D, m, q, « gibi simgelerle gösterilir.[/td]

İŞLEMİN ÖZELİKLERİ​

A kümesinde ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği​

” a, b Î A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır. (” : Her)

2. Değişme Özeliği​

” a, b Î A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği​

” a, b, c Î A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği​

” x Î A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliği​

işleminin etkisiz elemanı e olsun.
” a Î A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a⁻¹ biçiminde gösterilir.
b Î A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

6. Dağılma Özeliği​

” a, b, c Î A için,
a « (b c) = (a « b) (a « c) ise,
« işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a b) « c = (a « c) (b « c) ise,
« işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

7. Yutan Eleman Özeliği​

” x Î A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER​

A = {a, b, c, d} kümesinde D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

• b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b * c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.
• Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.
• Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özeliği vardır.
• Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır.
• Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan * işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna göre,

* işleminin yutan elemanı 1 dir.
* işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.

MATEMATİK SİSTEMLER​

Tanım​

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.

Grup​

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

1. i) A, « işlemine göre kapalıdır.
2. ii) A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır.
3. iii) A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
4. iv) A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

Halka​

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

1. i) (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
2. ii) A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
3. iii) « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.

• « işleminin değişme özeliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır.
• « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir.

MODÜLER ARİTMETİK​

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

ise a º b (mod m)
a = b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:
0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları
Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir.

Buna göre,
Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a º b (mod m)
c º d (mod m)

olmak üzere,

1. a + c º b + d (mod m)
2. a – c º b – d (mod m)
3. a . c º b . d (mod m)
4. an º bn (mod m)
5. a – b º 0 (mod m)
6. k . a º k . b (mod m) dir.
7. n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise
8. a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.

Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,
xᵐ ⁻ ¹ º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi
m = aᵏ . b ʳ . c ᵖ ve
xᵗ º 1 (mod m) dir.
Ü m asal sayı ise, (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.

POLİNOMLAR​

TANIM​

n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , aₙ – 1, aₙ birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙ ₋ ₁xⁿ ⁻ ¹+aₙxⁿ
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

TEMEL KAVRAMLAR​

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙ ₋ ₁xⁿ ⁻ ¹+aₙxⁿ
olmak üzere,

• a₀, a₁, a₂, … , aₙ ₋ ₁, aₙ in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
• a₀, a₁x, a₂x², … , aₙ ₋ ₁xⁿ ⁻ ¹, aₙxⁿ in her birine polinomun terimleri denir.
• Polinomun terimlerinden biri olan a₂x² teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
• Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.
• Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
• a₀ = a₁ = a₂ = … = aₙ = aₙ ₋ ₁ = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
• a₀ ¹ 0 ve a₁ = a₂ = a₃ = … aₙ ₋ ₁ = aₙ = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR​

P(x, y) = 3xy² – 2x²y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

POLİNOMLARDA EŞİTLİK​

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

• P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
• P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:
Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:

POLİNOMLARDA İŞLEMLER​

Toplama ve Çıkarma​

P(x) = aₙxⁿ + aₙ ₋ ₁xⁿ ⁻ ¹ + aₙ ₋ ₂xⁿ ⁻ ² + …
Q(x) = bₙxⁿ + bₙ ₋ ₁xⁿ – 1 + bₙ ₋ ₂xⁿ ⁻ ² + …
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (aₙ + bₙ)xⁿ + (aₙ ₋ ₁ + bₙ ₋ ₁)xⁿ ⁻ ¹ + …
P(x) – Q(x) = (aₙ - bₙ)xⁿ + (aₙ ₋ ₁ – bₙ ₋ ₁)xⁿ ⁻ ¹ + …
olur.

Çarpma​

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

Bölme​

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.

• P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
• der [K(x)] < der [Q(x)]
• K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
• der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;
1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

KALAN POLİNOMUN BULUNMASI​

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.

• P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
3) P(x) polinomunun ax² + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x² yerine yazılır.
4) P(x) Polinomu (ax + b)ⁿ İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)
(P'(x) : P(x) polinomunun 1. türevidir.)

BASİT KESİRLERE AYIRMA​

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır. Buna göre,

DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER​

m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

1. der[P(x) ± Q(x)] = m dir.
2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
4. k Î N⁺ için der[Pᵏx)] = k . m dir.
5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER​

TANIM​

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax² + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU​

Çarpanlara Ayırma Yöntemi​

ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0
biçiminde yazılabiliyorsa
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

Diskiriminant (D) Yöntemi​

ax² + bx + c = 0
denkleminin kökleri simetrik ise,
1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.
2) Simetrik kökleri gerçel ise,
b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR​

ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise,

KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI​

Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden denklem;
(x – x₁) (x – x₂) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 olur.

Ü ax² + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olsun.
Kökleri mx₂ + n ve mx₂ + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine yazılarak bulunur.

Ü ax² + bx + c = 0 ve dx² + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax² + bx + c = 0 ve dx² + ex + f = 0
denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
ax² + bx + c = dx² + ex + f
(a – d)x² + (b – e)x + c – f = 0 dır.
Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER​

TANIM​

a ¹ 0 olmak üzere, ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR​

a ¹ 0 ve ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ve x₃ olsun. Buna göre,

KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI​

Kökleri x₁, x₂ ve x₃ olan üçüncü derece denklem
(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,
x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x – x₁x₂x₃ = 0 olur.

ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂, x₃ olsun.

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x₁ + x₃ = 2x₂ dir.
2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x₁ = x₂ = x₃ tür.
Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
aₙxⁿ + aₙ ⁻ ¹xⁿ ₋ ₁ + … + a₁x + a₀ = 0