KAREKÖKLÜ İFADELER
n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
·n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
Soru-1
A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] x³3 ve 5³x[/COLOR]
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.[/COLOR]
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması
Öa = am/n dir.
Örnek:
·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] x/3 = (1 – 2x)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=https://cerezforum.com.tr/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]Þ[/URL] x = 8/3 dir.[/COLOR]
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,
(Öa )m = Öam
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Î Z+ olmak üzere,
a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.
a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)
Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
Örnekler:
·Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
· x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Î Z+ olmak üzere
Öan = Öan.k = Öan/k
Örnekler:
·Ö32 = Ö25 = Ö2
·Ö3 = Ö32 = Ö9
·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
Soru-5
x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
Örnekler:
·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)
Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa . Öb = Öa.b
Öa / Öb = Öa/b
Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
Örnek:
· (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
Örnekler
· a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)
Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3
Not:n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.
