kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım - Kontür İntegrali
Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir.
Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır.
Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır.
Kontür integrali yöntemleri şunları içerir:
Karmaşık değerli bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki bir eğri (kontür) boyunca integralinin dolaysız bulunması
Cauchy integral formülünün uygulanması
Kalıntı teoreminin uygulanması
Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir.
Dolaysız yöntemler
Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir. Bu da şu yöntemleri kullanmamız anlamına gelmektedir:Kontürü parametrize etme (parametrizasyon)
Kontür gerçel değişkenli, karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon tarafından parametrize edilir veya kontür parçalara bölünüp ayrı ayrı parametrize edilir.
Parametrizasyonun integrand içine konulması
Parametrizasyonun integrand içine konulması integrali bir gerçel değişkenli integrale dönüştürecektir.
İntegral gerçel değişkenli integralde kullanılan yönteme benzer bir metodla bulunur.
Örnek
Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de z-1 in birim çember C etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır. Şimdi

integralini bulalım.
Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz |z| = 1 birim çemberini kullanıyoruz. γ'(t) = ieit olduğunu gözlemleyip, bunu da z için yerine koyarsak

elde ederiz ki bu da integralin değeridir.
İntegral teoremlerinin uygulanması
İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır. Bu da gerçel değerli integralin hesaplanmasının bir kontür integralini hesaplamayla aynı zamanda yapıldığı anlamına gelir.Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır:
Belli bir kontür seçilir:
Kontür seçilir. Öyle ki, kontür karmaşık düzlemin gerçel değerli integrali tanımlayan bir parçasını takip eder ve ayrıca integrandın da tekilliklerini içerir. Böylece, Cauchy integral formülü veya kalıntı teoreminin kullanımı mümkün olur.
Cauchy-Goursat teoreminin uygulanması
İntegral her kutup etrafındaki küçük bir çember etrafında alınan bir integral haline gelir.
Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoreminin uygulanması
Bu integral formülünün uygulanması kontürün tümü üzerindeki integralin değerini verir.
Kontürün gerçel ve sanal kısımları olan başka bir kontüre bölünmesi.
Tüm kontür karmaşık düzlemin parçasını takip eden bir integrale bölünür ki bu kontür de daha önce seçilmiş gerçel değerli integrali (buna R diyelim) ve karmaşık düzlemi kesen integrali (buna da I diyelim) açıklar. Tüm kontür üzerinde alınan integral bu parçalanmış her kontür üzerindeki integrallerin bir toplamıdır.
Karmaşık düzlemi kesen integralin gösteriminin toplamda bir rolü yoktur.
Eğer I integralinin sıfır olduğu gösterilebilirse veya aranan gerçek değerli integral düzensiz integral ise ve sonra yukarıdaki gibi açıklanan I integralinin 0'a gittiğini gösterebilirsek, R boyuncaki integral R+I kontürü boyuncaki integrale gidecektir.
Sonuç
Yukarıdaki adımı gösterebilirsek, o zaman R 'yi, gerçel değerli integrali, dolaysız bir şekilde hesaplayabiliriz.
Örnek (I)

integralini ele alalım.

Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, i ve -i noktalarında tekillikleri olan

fonksiyonuna bakıyoruz. Bununla birlikte, gerçel değerli integrali çevreleyecek kontürü de seçmek istiyoruz; böylece solda gösterilen ve uzattığımızda tüm gerçel ekseni içerecek (a sonsuza gidecek) yarım çemberi seçiyoruz. Bu kontüre C diyelim.
Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi.
Cauchy integral teoreminin kullanılması

olduğunu gözlemleyelim. Kontür içindeki tek tekilli i 'deki tekillik olduğu için,

yazabiliriz ki bu da fonksiyonu formülü dolaysız bir şekilde uygulayacak biçime getirir. O zaman Cauchy integral formülü ile


(Yukarıdaki adımlarda birinci türevi alıyoruz çünkü kutup ikinci bir mertebeden bir kutuptur. Yani; (z - i) 'nin ikinci kuvveti olduğu için ƒ(z) 'nin ilk türevini alıyoruz. Eğer (z - i) 'nin üçüncü kuvveti alınsaydı, o zaman ikinci türevi alacaktık vs. (z - i) 'nin birinci kuvveti ise sıfırıncı mertebeden türeve karşılık gelir ki bu da ƒ(x) 'in kendisidir.) Yarı çemberin yayına A dersek, A üzerindeki integralin a sonsuza gittikçe 0'a gittiğini göstermemiz gerekir. L, A 'nın uzunluğuysa ve M, |f(z)| üzerinde bir üst sınırsa, o zaman tahmin lemmasını kullanarak

yazılabilir. Şimdi,

Böylece;

Kalıntılar yönteminin kullanılması
f(z) 'nin düşünmemiz gereken tek tekllik olan i civarındaki Laurent serisini ele alalım. O zaman,
(Laurent serisi maddesinden bu çıkarım için örneğe bakınız.) Kalıntının ufak bir incelemeyle -i/4 olacağı açıktır (bunu görmek için, yukarıdaki eşitliğin z - i ile çarpıldığını; sonra her iki tarafın da Cauchy integral formülü ile integralinin alındığını varsayalım. Sadece ikinci terimin integralinin sonucu 0 olmayan bir nicelik verecektir.). O zaman kalıntı teoremi ile şunu elde ederiz:

Yarı çemberin yayına A dersek, A üzerindeki integralin a sonsuza gittikçe 0'a gittiğini göstermemiz gerekir. L, A 'nın uzunluğuysa veM, |f(z)| üzerinde bir üst sınırsa, o zaman tahmin lemmasını kullanarak

yazılabilir. Şimdi,

Böylece;

Böylece aynı sonucu elde etmiş olduk.
Kontür notu
Bir yandan, diğer tekilliği, yani -i 'yi, de çevreleyecek bir yarım çember alınıp alınamayacağı sorusu da sorulabilir. Gerçel eksendeki integrali doğru yönde elde etmek için, kontür saat yönünde olmalıdır; yani integralin tamamiyle işaretini değiştiren negatif yönde olmalıdır.Bu serilerle kalıntılar yönteminin kullanımını etkilemez.
Örnek(II) Cauchy dağılımı
Olasılık kuramında Cauchy dağılımının karakteristik fonksiyonunun skaler bir katı olarak karşımıza çıkan


integrali basit hesabın tekniklerine karşı koymaktadır. Bu integrali, gerçel doğru üzerinde -a 'dan a 'ya ve daha sonra da 0 merkezli yarım çember üzerinde saat yönünün tersine a 'dan -a 'ya giden bir C kontürü boyuncaki kontür integrallerinin limiti olarak bulacağız. a, 1'den büyük olsun böylece sanal birim i eğrinin iç tarafnda kalsın. O zaman kontür integrali şudur:

eitz bir tam fonksiyon olduğundan (karmaşık düzlemin herhangi bir noktasında tekilliği yok), bu fonksiyonun tekillikleri payda z2 + 1 'in 0 olduğu yerlerde olacaktır. z2 + 1 = (z + i)(z - i) olduğu için, bu da sadece z = i veya z = -i 'de olacaktır. Bu noktalardan sadece bir tanesi bu kontürün sınırladığı bölgede kalacaktır. f(z) 'nin z = i 'deki kalıntısı şu şekildedir:


Kalıntı teoremine göre, o zaman şunu elde ederiz.

C kontürü bir "doğru"ya ve bir de eğri bir yaya parçalanabilir. Böylece

olur ve bu yüzden

olur. Eğer t > 0 ise, o zaman

Bu yüzden, eğer t > 0 ise, o zaman

i yerine -i 'yi dolanan bir yay durumundaki benzer bir tartışma eğer t < 0 ise, o zaman

olduğunu gösterir ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

( t = 0 ise, o zaman integral gerçel-değerli hesabın yöntemleriyle çözülebilecek duruma gelir ve değeri de π olur.)