KÜMELERDE İŞLEMLER
1.Kümelerin Bielişimi:
Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir. “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur.
A B B A B
A
A È B A È B A È B
Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur.
Birleşim Özellikleri
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A È A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir.
Birleşme özelliği:
Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir.
s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir.
2.Kümelerde Kesişim:
Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir. “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır.
A B
A Ç B
Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
A Ç B = { 1 , b } ‘ dir.
Kesişim İşleminin Özellikler:
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır.
Birleşme özelliği:
(A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir.
3.Ayrık Kümeler:
Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir.
Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir.
4.Dağılma Özelliği:
a.)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
Her A , B ve C elemanları için
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir
Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 , 4 }
( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 ,4 }
{ 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )
b.)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
Her A , B ve C kümeleri için
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir.
Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
= { c }
( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
= { c }
{ c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
5.Birleşimin Eleman Sayısı:
A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir.
Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
s( A È B ) = 5 + 10 – 2
= 13
6.Evrensel Küme:
Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.
E
A
B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir.
7.Tümleme:
Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir.
E
A¢
A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir.
Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
A¢ = { d , e } ‘ dir.
Tümleme İşleminin Özellikleri:
A Ç A¢ = F
A È A¢ = E
( A¢ ) ¢ = A
A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir.
( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
(A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
s(A) + s(A) ¢ = s(E)
E¢ = F
F¢ = E
8.Fark Kümesi:
A ve B kümeleri için A \ B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir.
A B
A \ B A Ç B B \ A
Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
A \ B = { c } B \ A = { e , f } ‘ dir.
Fark Kümesinin Özellikleri:
A ¹ B ise A \ B ¹ B \ A
E \ A¢ = A
A \ B = A Ç B¢
A Ç B = F ise A \ B = A
9.Simetrik Fark:
A ve B kümeleri için A D B = ( A \ B ) È ( B \ A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir.
Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir.
Açık Önermeler ve Niceliyiciler:
Açık Önerme:
Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir.
Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur. P(2) º 1 ‘dir. P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur. P(½) = 0 ‘dır.
Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir.
Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
kümesini bulalım.
3x+1 < 13 Þ 3x < 12 Þ x < 4 ‘ tür.
P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
kümesidir.
Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür.
Niceliyiciler:
Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır. “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır. “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır.
Varlıksal Niceliyiciler:
“Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir.Bazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter. Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır.
Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
gibi sayılar olduğundan doğrudur.
Evrensel Niceliyiciler:
“Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir.Her sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter.
Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır.
Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır. Önermesi x=0 için doğru
değildir. O halde önerme yanlıştır.
“" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır.
1. $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
[ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve
[ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir.]
2. ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir.
["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]
Sembol Olumsuzu(Değili)
"…………………………………$
$…………………………………"
³…………………………………<
=…………………………………¹
£………………………………….>
