Kümeler Teorisi
- Basit kümeler kuramı matematikçiler tarafından 19 yüzyıl sonunda geliştirilen özgün küme kuramıdır
- Zermelo-Freankel küme kuramı (ZFC), basit kümeler kuramındaki Russel paradoksu gibi zafiyetlere yanıt olarak geliştirilen belitsel bir kuramdır.
- Mantığın çeşitli türlerinde farklı küme türleri kullanılabilmektedir (örneğin Bulanık mantıkta Bulanık kümeler).
- Müziksel kümeler kuramı matematiksel kümeler kuramının müziğe uygulaması olarak tarif edilebilir.
Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek
CAN BAŞKENT
1. Sezgisel Kümeler Kuramı ve Çelişkileri
Hepimizin bildiği sezgisel kümeler kuramı (naive set theory) Cantor'a atfedilir. Bu kümeler kuramı, bizim Math111 dersinden tanıdığımız kuram.
19. yüzyılın ikinci yarısında, bizzat Cantor'un kendisi de dahil olmak üzere, matematikçiler ve mantıkçılar kümeler kuramında çelişkiler ve tutarsızlıklar bulmaya başladı.
Örneğin: [ Cantor (Burali - Forti) Açmazı ]
Tüm kümelerin kümesine T diyelim. T'nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye (power set) de A diyelim.
Biliyoruz ki: |A| > |T|, çünkü 2m > m
Fakat T tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor, dolayısıyla |A| > |T| koşulu nedeniyle, A kümesi tüm kümlerin kümesinden de büyük bir küme olmalıdır.
Çelişki!
Bu açmazda ilginç olan nokta, Cantor'un farklı sonsuzluk türleriyle ilgili ilk çalışmalarının ipucunu taşımasıdır. Diğer bir deyişle, ontolojik olarak farklı iki tür sonsuzluğun mümkünatı Cantor'un ilgi alanlarındandı. Farklı 3'ler var olamıyorsa, nasıl farklı sonsuzluk türleri var olabiliyordu? Dahası bu sonsuzluk türleri birbirlerinden türetilemiyordu. Gerçel sayıların sayılamayan sonsuzluğunun, sayılabilir sonsuzluğa sahip doğal sayılardan türetilememesi gibi.
Bu açmazı aklımızda tutalım, çünkü makalenin ilerleyen satırlarında Cantor'un continuum hipotezinden söz edeceğiz.
Cantor açmazı üzerine çalışan Bertrand Russell, 1901 yılında daha 28 yaşındayken kendi adıyla anılan açmazı keşfeder. (Bazı kaynaklara göre ise, aynı açmaz Zermelo tarafından Russell'dan bağımsız olarak da bulunmuştur. Zermelo, Hilbert'e yazdığı bir mektupta bu açmaz söz ediyormuş.)
Açmazı sembolik olarak anlatmaya geçmeden, Russell'ın ifadeleriyle açmazı öğrenelim:
Bir köyün berberi, yalnızca kendini tıraş etmeyen köylüleri tıraş edermiş. Peki bu berber kendini tıraş eder mi?
Kendini tıraş ederse kendini tıraş etmeyecek, kendini tıraş etmezse kendini tıraş edecek..
Sembolik olarak yazmak gerekirse:
Aşağıdaki R kümesini ele alalım.
R:={x : x
∉
x}
Acaba R kendisinin bir elemanı mı?..
Eğer
R ∈
R
ise, yani berber kendini tıraş ederse, tanım gereği:
R
∉
R, yani berber kendini tıraş edemez.
Eğer R
∉
R
ise, yani berber kendini tıraş edemiyorsa, tanım gereği:
R ∈
R
, yani berber kendini tıraş ediyor.
Sonuç:
R ∈
R
⇔
R
∉
R, çelişki...
Russell açmazının çözüm süreci aslında oldukça ilginç. Russell'ın kendisi dahil olmak üzere, bu açmazın çözümü için bir çok fikir öne sürülmüş. Şimdi ise biliyoruz ki, böyle bir R kümesi var olamaz. Tıpkı, Cantor açmazındaki T kümesini var olamayacağı gibi. Görüyoruz ki, bir zamanların sezgisel kümeler kuramının açmazları, teorem olarak aksiyomatik kümeler kuramında yer alıyor. Russell açmazının önemli noktalarından biri de, her özelliğin küme tanımlamadığının gösterilmesiydi. Diğer bir ifadeyle A={x | Ψ(x) } ifadesi her Ψ(x) ifadesi için küme tanımlamıyor. Örneğin, T kümesi için Ψ(x) := {x = x }, R kümesi içinse Ψ
(x) := {x
∉
x} olarak verilmişti ve T ile R küme olamıyordu.
Russell bir matematikçi, mantıkçı, filosof ve sıkı bir savaş karşıtıydı. Alfred North Whitehead ile yazdığı Principia Matematica önemli bir projeydi. Bu eserde Russell ve Whitehead, matematiği mantığa ve kümeler kuramına indirgemeye çalışmışlardı. Fakat, biraz önce gördüğümüz açmazlar nedeniyle, bu proje başarısızlıkla sonuçlandı. İlk aklımıza gelen soru şu: 'Acaba modern kümeler kuramında da böyle bir proje başarısız olur mu?'.. Bu çalışmanın kapsamını aşan bu önemli soru matematiksel mantığın felsefesi ve yöntembilgisi alanında ufuk açıcı bir araştırma konusu olarak belirmekte.
Principia Matematica, alanında ne ilk ne sondu. Frege'nin Aritmetiğin Temelleri'ni, Hilbert'in Geometrinin Temelleri'ni es geçmemeliyiz.
Hilbert'ten söz etmişken, ünlü matematikçinin 1900 Uluslararası Paris Matematikçiler Konferansında sunduğu soruları, daha doğrusu bu sorulardan bizi ilgiliendirdiklerini düşündüklerimi, atlamamlıyız. Şöyle sormuş Hilbert: 'Acaba fizik aksiyomatikleştirilebilir mi?' Bizi daha da çok ilgilendiren sorusu ise: 'En genel bir matematik probleminin çözümü için (sonlu) bir algoritmik yöntemin bulunup bulunmayacağı'. Hilbert'in amacı, aksiyomlarını ve yöntem kurallarını belirleyecek bir program yardımıyla matematiği tartışılmaz sağlamlıklta temellendirmekti. Kant'ın hemşerisi olan Hilbert'in bu iddiasını önce Platoncu bir mantıkçı olan Gödel, sonrasında da Alan Turing yanıtladı: Böyle bir algoritma var olamaz!
