Matematik konu Anlatımları

İkinci Dereceden Denklemler​

A. TANIM

a, b, c reel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0

ifadesine x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi), çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.

B. DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ

1. Çarpanlara Ayırma Yoluyla Denklem Çözme

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesi, kolaylıkla görülebiliyorsa, çarpanlarına ayrılarak bulunur. Bunun için,

olmak üzere,

a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) olduğu göz önüne alınacaktır.

2. Formül Kullanarak Denklem Çözme

ax2 + bx + c = 0 denkleminin sol tarafı kolayca çarpanlara ayrılamayabilir. Bu durumda, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü için genel bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde,

D = b2 4ac

ifadesine, denklemin diskiriminantı denir.

1) D > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

2) D = 0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köküne çift katlı kök ya da çakışık kök denir.

3) D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Bu durumda denklemin karmaşık iki farklı kökü vardır.

C. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

1. Polinomların Çarpımı Veya Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü



2. Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemlerin Çözümü

Verilen denklemde benzer ifadeler yeniden adlandırılarak denklem basitleştirilir. Örneğin

x4 10x2 + 9 = 0 denkleminde x2 = t,

22x 6 × 2x + 8 = 0 denkleminde 2x = u,

(x2 2x)2 (x2 2x) 30 = 0 denkleminde,

x2 2x = k,

denkleminde adlandırılması yapılarak çözüme gidilir.


3. Köklü Denklemlerin Çözümü

Bir denklemde bilinmeyen, kök içinde bulunuyorsa bu denkleme köklü denklem denir.

Denklemde köklü terim bir tane ise, köklü terim eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Sonra kökün derecesine göre kuvvet alınır. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. Bulunan köklerden köklü terimi tanımsız yapmayanlar alınır.

4. Mutlak Değer İçeren Denklemler

Kök içini sıfır yapan değerlere göre, inceleme yapılarak çözüme gidilir. Örneğin;

-) |x 1| + 2x = 5 denkleminde (x £ 1 ve x >1) alınarak çözüme gidilir.


D. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,





E. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KURULUŞU

Kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem;


Kural

ax2 + bx c = 0 *

denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. m ¹ 0 olmak üzere, kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem * denkleminde x yerine yazılarak elde edilir.

Belirli İntegral

olmak üzere, ifadesine f(x) fonksiyonunun a dan b ye belirli integrali denir.

Belirli integralin eşitigösterimlerinden biriyle yapılır.



Uyarı

Daima sadeleşeceği için, integral sabiti olan c belirli integralde yazılmaz.

BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ



Kural

Mutlak değer, işaret ve tam değer fonksiyonlarının integralleri, fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar göz önüne alınarak sonuçlandırılır.

İki ya da daha fazla fonksiyonun toplamının ya da farkının belirli integrali, bu fonksiyonların ayrı ayrı belirli integrallerinin toplamına ya da farkına eşittir.




İNTEGRAL - TÜREV İLİŞKİSİ

Kural
f(x) in integralinin türevi f(x) e eşittir.



Doğrunun Eğimi

Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranına eğim denir.Diğer bir deyişle karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmekte eğimdir.Rampa yollar,ikinci kata çıkaran yürüyen merdivenler,kızakla yokuş aşağı kayılan yol eğime örnektir.Eğim m harfi ile gösterilir.

Eğim=m=(dikey uzunluk)/(yatay uzunluk)

Eğim ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir. X eksenine paralel doğruların eğimleri sıfırdır.Y eksenine paralel doğruların eğimleri yoktur.Birbirlerine dik doğruların eğimleri çarpımı -1dir.

y=ax+b biçimindeki bir doğru denkleminde xin katsayısı doğrunun eğimini verir.(m=a)Bu şekilde olmayan denklemler y=ax+b tarzına getirilir.Bu tür denklemin grafiği koordinat ekseninde kollardan yani eksenlerden geçer.

y=mx biçimindeki doğru denkleminde xin katsayısı doğrunun eğimidir.(m=a)Bu tür denklemin grafiği koordinat ekseninde orijinden geçer.

y=b doğrusunun eğimi sıfırdır, (y=3 ise m=0)

x=a doğrusunun eğimi tanımsızdır, (x=5 ise m= tanımsız)

Doğrunun eğimi bulunurken; doğru denkleminde xin önündeki çarpım durumunda olan katsayı işaretiyle alınır.Eğimin işareti eksi (+) olursa grafik sağa yatık, eğimin işareti artı (-) olursa grafik sola yatık olur.

Örnekler:
y=(2x/3)+7 m=2/3 grafik sağa yatık
y=(-x/7)+2 m=-1/7 grafik sola yatık
y=3x-10 m=3 grafik sağa yatık
y=(2x/3)+7 m=2/3 grafik sağa yatık
y=-5x+1 m=-5 grafik sola yatık
y=x m=1 grafik sağa yatık
y=-x m=-1 grafik sola yatık
y=4x m=4 grafik sağa yatık
y=-2x/9 m=-2/9 grafik sola yatık
y=-2 m=0 grafik x eksenine paralel
x=1 m=tanımsız grafik y eksenine paralel

y=ax+b ve y=cx+d doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi varsa bu doğruların grafiklerinin kesim noktasının koordinatlarıdır.İki doğrunun çözüm kümesi ile kesiştikleri yerdeki A(x,y) noktası aynıdır.

Örnek Sorular ve Çözümleri​

Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi kaçtır?

Çözüm: y=mx+n tarzındaki denklemlerin eğimi m'dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninin kollarından geçer.Grafik sağa yatıktır.
Buradaki denklemde eğim 2'dir.
x=0 verilir y bulunur.
y=2.0+5
y=0+5=5
y=0 verilir x bulunur.
0=2x+5
-5=2x oda x=-5/2 olur.
Doğru grafiği (-5/2,5) noktasından geçer.

Örnek: y = -6x + 6 doğru denkleminin eğimi kaçtır?

Çözüm: y=mx+n tarzındaki denklemlerin eğimi m'dir.Denklemin grafiği koordinat ekseninin kollarından geçer.Grafik sola yatıktır.
Buradaki denklemde eğim -6'dir.

x=0 verilir y bulunur.
y=-6.0+6
y=0+6=6
y=0 verilir x bulunur.
0=-6x+6
6x=6 oda x=6/6=1 olur.
Doğru grafiği (1,6) noktasından geçer.

Örnek: y= x doğru denkleminin eğimi kaçtır?

Çözüm: y=mx tarzındaki denklemlerin eğimi m'dir. Denklemin grafiği koordinat ekseninde orijinden geçer.Grafik sağa yatıktır.
Buradaki denklemde eğim +1'dir.
x=0 verilir y bulunur.
y=0
y=0 verilir x bulunur.
0=x
Doğru grafiği (0,0) noktasından geçer.

Fonksiyonlar​

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;

2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.

f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1'den fazla değeri olduğu için fonksiyon değildir.

Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon değildir. f(2) = tanımsız.

Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.

A'dan B'ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.

A'dan B'ye tanımlanan bir fonksiyon f : A B şeklinde gösterilebilir.

x A ve y B olmak üzere f : x y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.


Tek ve çift fonksiyonlar :

Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;

f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.

Diğer bir deyişle başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek;

y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.


Periyodik fonksiyonlar:

Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.

Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda

f(x+t) = f(x) ( x+t) - x = t olur.


Trigonometrik fonksiyonlardan

sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;

tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise dir.

FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:

f (x) ve g (x) fonksiyonları için

h (x) = ( f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

h (x) = ( f - g) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

h (x) = ( f . g) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

h (x) = ( f / g) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan

birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

İşlemler​

İŞLEM​

A. Tanım
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan bir fonksiyona birli işlem denir.

A ⊂ C olmak üzere A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

Kenarortay Bağıntıları​

1. Ağırlık Merkezi

Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler. Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD] [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.



a. Ağırlık merkezi kenarortayı kenara 1 birim köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D E F noktaları bulundukları kenarlarınorta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır.



b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.



c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.




d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.



e. ABC üçgeninde|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|

eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.




2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD|



3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

a. Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.



b. G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

Karmaşık Sayılar​

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi 1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 2i, 1 + 2i } dir.

B. İ NİN KUVVETLERİ

iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Buna göre , n Î N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.

Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 1) = (-1 i + 1).(-i + 1 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }

Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.


Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 Þ a = 5
2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.

Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

Çözüm:

Z1 = Z2 olduğundan,
a 2 = 0 Þ a =2,
a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.

Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,

3 . Z 1 = 2(4 i)

olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm:

3 . Z 1 = 2(4 i)
3 . (a bi) 1 = 8 2i
3a 1 3bi = 8 2i

olduğundan, 3a 1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve
-3b = -2 Þ b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

Z1 = a + bi ---- Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Z2 = c + di ---- Z1 Z2 = ( a c ) + ( b di )