Makaleyi okuyan herkesin dört (4) diye bağırdığını duyar gibi oluyorum. Hepimize ilkokuldayken temel olan dört işlem öğretilmiştir. Oysa ki ben size dört işlem değil de beş (5) işlem var dersem ne diyeceksiniz? Toplama, çıkarma, çarpma, bölme başka ne işlemi olabilir ki? diyeceksiniz. O zaman bende size matematikte bir (1) işlem var diyeceğim! Yani aslında öğrendiğiniz dört işlem tek işlemin türemesinden oluşmuştur.
İki çocuk bir ağaçtan meyve toplamışlar; birincisi 6 meyve, ikincisi 5 meyve toplamış. Toplam 6+5 =11 meyve. Buraya kadar her şey normal, şimdi de çıkarma işlemine bakalım. Çocuklar toplamış oldukları meyvelerin 4 tanesini yemişler. Geriye kaç meyve kalmış?
11-4=7 diyeceksiniz. Bir de şöyle düşünsek, çocukların yedikleri meyveleri negatif (-) değerli sayılar kabul edersek. 11+(-4) = 7 olmaz mı? Yani aslında çıkarma işlemi diye bir işlem yoktur. Çıkarma işlemi, pozitif bir sayı ile negatif bir sayının pratik toplanması için türetilmiş bir işlemdir. Gelelim çarpma işlemine 4×3=? bu ifadeyi ilkokuldaki gibi okursanız, hemen ne demek istediğimi çözeceksiniz. Nasıl okuyorduk; dört kere üç ya da tersten üç kere dört. Şimdi bunu yazarak gösterelim. 3+3+3+3 = 4+4+4 = 12.
O zaman aslında bir çocuk meyve ağacına her çıktığında aynı sayıda meyveyi topluyorsa, çarpma işlemi ile pratik toplama yaparak çocuğun kaç meyve topladığını bulabiliriz. Tek bilmemiz gereken çocuğun ağaca kaç defa çıktığıdır. Yani anlayacağınız aslında çarpma diye bir işlem de yoktur. Çarpma dediğimiz işlem, bir sayının kendi kendisiyle kaç defa toplanacağının pratik olarak söylenmesi ve uygulanmasıdır. Buraya kadar her şeyin çok güzel gitmesine rağmen bölmeyi nasıl anlatacağımı merakla beklediğinizin farkındayım. İsterseniz yine meyve toplayan çocukları kullanalım.
Çocuklar ağaçtan toplam 15 meyve toplamış olsalar ve bu meyveleri her öğünde eşit olarak yediklerini düşünürsek, bölme işlemini daha rahat açıklayabiliriz. Örneğin 15 meyvenin her defasında 3 tanesini yiyen çocuklar kaç öğün sonra elmaları bitirirler? 15 / 3 = 5 dediğinizi duyabiliyorum. Peki bir de daha uzun yoldan düşünelim. 15-3 = 12 (1. öğün), 12-3=9 (2. öğün), 9-3=6 (3. öğün), 6-3=3 (4. öğün), 3-3=0 (5. öğün). Gördüğünüz gibi aslında bölme dediğimiz işlem bir sayıdan sabit bir sayının kaç defa çıkarılacağının pratik olarak bulunmasından başka bir şey değildir. Ya da toplama ifadesi ile söyleyecek olursak; bir sayıdan sıfıra ulaşmak için, sabit bir negatif sayının (sizin tarafınızdan seçilen) kaç defa toplama işleminde kullanılacağının pratik olarak bulunmasıdır.
Peki beşinci işlem nedir? Her şeyin bir toplama ile başladığı hesap dünyasında işlem dediğimiz ifadelerde iki tarafında değişmesi gerekmektedir. O yüzden toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde, işleminin iki tarafı da değiştiği için bunlara işlem denilmektedir. Neyse sizi daha fazla merakta bırakmayalım: Beşinci işlem “ÜST ALMA” işlemidir. Şimdi de bir çok kişinin o zaman karekök alma, yüzde alma, vs. gibi işlemler de var dediğini duyabiliyorum. Ama üst alma işleminde işlemin hiçbir yeri sabit değildir. Örneğin, 52 = 5×5 ya da 43 = 4x4x4’ü ifade eder, yani üst alma dediğimiz işlem bir sayının kendi kendisi ile kaç defa çarpılacağının pratik olarak bulunmasıdır. Oysaki yüzde alma işleminde sayılar hep yüze bölünür. Ya da karekök işleminde sayıların hep ½ üstü alınır.
Peki, siz şimdi yukarıdaki bilgileri ne için kullanabileceğinizi ya da ne işinize yarayacağını merak ediyorsunuz? Yukarıda size anlatmaya çalıştığım temel nokta hayatın birçok evresinde olduğu gibi matematikte de türemeler yani gelişmeler zaman içinde oluşmuştur. Ama bu basit temeli iyi anlamayan birçok kişi 4+3×2=? işlemini bile yanlış yapabilir. Çünkü matematikte eğer parantez kullanılmıyorsa, öncelikle türemiş işlemler yapılır. Yukarıdaki işlemde öncelikle çarpma yapılır, sonrasında ise toplama yapılır!
Matematikte temel işlemler öğrenciler tarafından çok iyi kavranmadığı ve sadece ezber yapıldığı için birçok öğrenci matematikten korkmaktadır. Üniversite giriş sınavında bile sadece basit matematik işlemlerini yapabilen öğrenciler biranda binlerce kişinin önüne geçebilmektedir. Burada bilmeniz gereken hangi işlemin türediğini bilmektir.
Bildiğiniz gibi matematikteki temel işlem “toplama”dır. Çıkarma işlemi ise negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplanması yani “toplama işleminin tersidir”. Dolayısıyla eğer işlemler sadece toplama ve çıkarma işlemlerinden oluşuyorsa hangisinin önce yapıldığının bir önemi yoktur.
Örneğin 5+4-3 = ? işlemini yapalım. 5+4=9 ise 9-3 = 6 ya da 4-3=1 ise 5+1=6 ya da 5-3=2 ise 2+4=6 olur. Gördüğünüz gibi çıkarılacak sayının 3 olduğunu karıştırmazsanız, hangi işlemi önce yaptığınızın hiçbir önemi yoktur.
Yalnız işlemlerin içine çarpma ve bölme girdiği zaman öncelik çarpma ve bölmenindir. Bildiğiniz gibi çarpma ve bölme işlemi toplama ve çıkarma işleminden türemiştir. Dolayısıyla toplama ve çarpma işleminin aynı işlemde olduğu zaman önce çarpma yapılmalıdır. Birçok öğrenci ise okuma yapıyormuş gibi soldan sağa işlem yaptığı için yanlış sonuç bulmaktadır.
Örneğin, 5+4×3 =? İşleminin sonucu 17’dir. Ama birçok kişi soldan sağa işlem yaparak 27 sonucunu bulabilir! Burada önce türemiş işlem olan çarpma işlemi yapılmalıdır. 4×3=12 ve 5+12 =17 olur.
Başka bir örnek yapacak olursak, 6-4/2=? İşleminin sonucu 4 olur. Çünkü öncelik bölme işleminde olduğu için 4/2=2 ve 6-2=4 olur. Oysa ki soldan sağa işlem yapamaya kalkanlar yanlış cevap olan 1 sonucunu bulurlar.
Son olarak çarpmadan türemiş işlem olan üst alma işleminin bütün işlemlerden öncelikli olduğunu söyleyelim. Örneğin 2+23/4=?
23=8 ise 8/4=2 ise 2+2 =4 olur.
Demek ki işlem yaparken eğer parantezle öncelik belirtilmemişse en önce üst alma, sonrasında çarpma ve bölme işlemleri en son olarak da temel işlem olan toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. İsterseniz bu anlattıklarımız bilgisayarlarınızda da deneyerek görebilirsiniz.
Sonuç olarak yaptığınız işin özünü öğrenebilirseniz, işi kavramanız ve kendinizi bu konuda geliştirmeniz de o kadar kolay olur.
Peki o işlem nedir : “TOPLAMA”.
Matematikte aslında sadece toplama işlemi vardır. Hatta bunu hemen ispatlayabiliriz:İki çocuk bir ağaçtan meyve toplamışlar; birincisi 6 meyve, ikincisi 5 meyve toplamış. Toplam 6+5 =11 meyve. Buraya kadar her şey normal, şimdi de çıkarma işlemine bakalım. Çocuklar toplamış oldukları meyvelerin 4 tanesini yemişler. Geriye kaç meyve kalmış?11-4=7 diyeceksiniz. Bir de şöyle düşünsek, çocukların yedikleri meyveleri negatif (-) değerli sayılar kabul edersek. 11+(-4) = 7 olmaz mı? Yani aslında çıkarma işlemi diye bir işlem yoktur. Çıkarma işlemi, pozitif bir sayı ile negatif bir sayının pratik toplanması için türetilmiş bir işlemdir. Gelelim çarpma işlemine 4×3=? bu ifadeyi ilkokuldaki gibi okursanız, hemen ne demek istediğimi çözeceksiniz. Nasıl okuyorduk; dört kere üç ya da tersten üç kere dört. Şimdi bunu yazarak gösterelim. 3+3+3+3 = 4+4+4 = 12.
O zaman aslında bir çocuk meyve ağacına her çıktığında aynı sayıda meyveyi topluyorsa, çarpma işlemi ile pratik toplama yaparak çocuğun kaç meyve topladığını bulabiliriz. Tek bilmemiz gereken çocuğun ağaca kaç defa çıktığıdır. Yani anlayacağınız aslında çarpma diye bir işlem de yoktur. Çarpma dediğimiz işlem, bir sayının kendi kendisiyle kaç defa toplanacağının pratik olarak söylenmesi ve uygulanmasıdır. Buraya kadar her şeyin çok güzel gitmesine rağmen bölmeyi nasıl anlatacağımı merakla beklediğinizin farkındayım. İsterseniz yine meyve toplayan çocukları kullanalım.
Çocuklar ağaçtan toplam 15 meyve toplamış olsalar ve bu meyveleri her öğünde eşit olarak yediklerini düşünürsek, bölme işlemini daha rahat açıklayabiliriz. Örneğin 15 meyvenin her defasında 3 tanesini yiyen çocuklar kaç öğün sonra elmaları bitirirler? 15 / 3 = 5 dediğinizi duyabiliyorum. Peki bir de daha uzun yoldan düşünelim. 15-3 = 12 (1. öğün), 12-3=9 (2. öğün), 9-3=6 (3. öğün), 6-3=3 (4. öğün), 3-3=0 (5. öğün). Gördüğünüz gibi aslında bölme dediğimiz işlem bir sayıdan sabit bir sayının kaç defa çıkarılacağının pratik olarak bulunmasından başka bir şey değildir. Ya da toplama ifadesi ile söyleyecek olursak; bir sayıdan sıfıra ulaşmak için, sabit bir negatif sayının (sizin tarafınızdan seçilen) kaç defa toplama işleminde kullanılacağının pratik olarak bulunmasıdır.
Peki beşinci işlem nedir? Her şeyin bir toplama ile başladığı hesap dünyasında işlem dediğimiz ifadelerde iki tarafında değişmesi gerekmektedir. O yüzden toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde, işleminin iki tarafı da değiştiği için bunlara işlem denilmektedir. Neyse sizi daha fazla merakta bırakmayalım: Beşinci işlem “ÜST ALMA” işlemidir. Şimdi de bir çok kişinin o zaman karekök alma, yüzde alma, vs. gibi işlemler de var dediğini duyabiliyorum. Ama üst alma işleminde işlemin hiçbir yeri sabit değildir. Örneğin, 52 = 5×5 ya da 43 = 4x4x4’ü ifade eder, yani üst alma dediğimiz işlem bir sayının kendi kendisi ile kaç defa çarpılacağının pratik olarak bulunmasıdır. Oysaki yüzde alma işleminde sayılar hep yüze bölünür. Ya da karekök işleminde sayıların hep ½ üstü alınır.
Peki, siz şimdi yukarıdaki bilgileri ne için kullanabileceğinizi ya da ne işinize yarayacağını merak ediyorsunuz? Yukarıda size anlatmaya çalıştığım temel nokta hayatın birçok evresinde olduğu gibi matematikte de türemeler yani gelişmeler zaman içinde oluşmuştur. Ama bu basit temeli iyi anlamayan birçok kişi 4+3×2=? işlemini bile yanlış yapabilir. Çünkü matematikte eğer parantez kullanılmıyorsa, öncelikle türemiş işlemler yapılır. Yukarıdaki işlemde öncelikle çarpma yapılır, sonrasında ise toplama yapılır!
Matematikte temel işlemler öğrenciler tarafından çok iyi kavranmadığı ve sadece ezber yapıldığı için birçok öğrenci matematikten korkmaktadır. Üniversite giriş sınavında bile sadece basit matematik işlemlerini yapabilen öğrenciler biranda binlerce kişinin önüne geçebilmektedir. Burada bilmeniz gereken hangi işlemin türediğini bilmektir.
Bildiğiniz gibi matematikteki temel işlem “toplama”dır. Çıkarma işlemi ise negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplanması yani “toplama işleminin tersidir”. Dolayısıyla eğer işlemler sadece toplama ve çıkarma işlemlerinden oluşuyorsa hangisinin önce yapıldığının bir önemi yoktur.
Örneğin 5+4-3 = ? işlemini yapalım. 5+4=9 ise 9-3 = 6 ya da 4-3=1 ise 5+1=6 ya da 5-3=2 ise 2+4=6 olur. Gördüğünüz gibi çıkarılacak sayının 3 olduğunu karıştırmazsanız, hangi işlemi önce yaptığınızın hiçbir önemi yoktur.
Yalnız işlemlerin içine çarpma ve bölme girdiği zaman öncelik çarpma ve bölmenindir. Bildiğiniz gibi çarpma ve bölme işlemi toplama ve çıkarma işleminden türemiştir. Dolayısıyla toplama ve çarpma işleminin aynı işlemde olduğu zaman önce çarpma yapılmalıdır. Birçok öğrenci ise okuma yapıyormuş gibi soldan sağa işlem yaptığı için yanlış sonuç bulmaktadır.
Örneğin, 5+4×3 =? İşleminin sonucu 17’dir. Ama birçok kişi soldan sağa işlem yaparak 27 sonucunu bulabilir! Burada önce türemiş işlem olan çarpma işlemi yapılmalıdır. 4×3=12 ve 5+12 =17 olur.
Başka bir örnek yapacak olursak, 6-4/2=? İşleminin sonucu 4 olur. Çünkü öncelik bölme işleminde olduğu için 4/2=2 ve 6-2=4 olur. Oysa ki soldan sağa işlem yapamaya kalkanlar yanlış cevap olan 1 sonucunu bulurlar.
Son olarak çarpmadan türemiş işlem olan üst alma işleminin bütün işlemlerden öncelikli olduğunu söyleyelim. Örneğin 2+23/4=?
23=8 ise 8/4=2 ise 2+2 =4 olur.
Demek ki işlem yaparken eğer parantezle öncelik belirtilmemişse en önce üst alma, sonrasında çarpma ve bölme işlemleri en son olarak da temel işlem olan toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. İsterseniz bu anlattıklarımız bilgisayarlarınızda da deneyerek görebilirsiniz.
Sonuç olarak yaptığınız işin özünü öğrenebilirseniz, işi kavramanız ve kendinizi bu konuda geliştirmeniz de o kadar kolay olur.
