Ondalık Kesirler

ONDALIK KESİR NASIL YAZILIR?​

Virgüllü olarak yazılabilen yada paydası 10 sayısının kuvvetleri şekline dönüştürülebilen sayılara ondalık kesir yada ondalık sayı denir. Ondalıklı sayıyı kesir sayısı olarak yazmak için, sayının tamamı paya yazılır, virgülden sonra sağda kaç tane sayı varsa, kesrimizin paydasına
1 sayısının yanına o kadar sıfır ilave edilir yani payda 10 sayısının kuvvetleri şekline dönüştürülür.Ondalıklı kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken virgüller alt alta getirilir, daha sonra bildiğimiz toplama ve çıkarma işlemi yapılır. Ondalıklı kesirlerde çarpma işlemi aynen yapılır virgüllerin sağında kaç tane sayı varsa sonuçtaki sayıdan sola doğru o kadar sayılır ve virgül araya konur. Ondalıklı kesirlerde bölme işlemi yaparken normal kesire dönüştürüp işlemi kesirlerdeki gibi yaparız.

23,456 = 23456/1000
1,4 + 3,5 = 4,9
74,8 - 2,5 = 72,3
5,1 . 2,8 = 14,28
3,2 : 1,3 = 32/10 : 13/10 = 32/13

A. TANIMLAR​

a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı kesir denir.

Burada a ya tam kısmı, bcd ye de kesir kısmı denir.
Her doğal sayının ondalık kesir kısmı sıfırdır.
5,0 ; 175,0 ; 1453,0

B. ONDALIK KESİRLERDE ÇÖZÜMLEME​

Bir ondalık kesri basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade etmeye ondalık kesri çözümleme denir.

C. ONDALIK KESİRLERDE DÖRT İŞLEM​

1. Toplama - Çıkarma : Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

2. Çarpma : Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

3. Bölme : Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

D. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR​

Bir rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir.

Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

· Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.
· Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.
· Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir.
0,333… gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.)

E. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME​

Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir.

· Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.”
· Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır.

Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir.

Paydası 10 un bir kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı sıfır devredenli bir ondalık açılıma sahiptir.

Devirli ondalıklı kesri rasyonel sayı haline getirme

Örnek:
4,33333………

x=4,3333……. diyoruz.

Eşitliğin her iki tarafını sadece 1 sayı devrettiği için 10 ile çarpıyoruz.

10x=43,3333…….

Alt alta çıkarıyoruz.

10x=43,3333….

x= 4,3333….

9x=39

x=39/9 oda x=13/3 çıkar.



Örnek:

0,4949………

x=0,4949……. diyoruz.

Eşitliğin her iki tarafını 2 sayı devrettiği için 100 ile çarpıyoruz.

100x=49,4949…….

Alt alta çıkarıyoruz.

100x=49,4949….

x= 0,4949….

99x=49

x=49/99 çıkar.

F. ONDALIK KESİRLERDE SIRALAMA
Ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken, soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır.
Bu karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir, diğerlerinden büyük olur.

G. BİR ONDALIK KESRİ VERİLEN BİR BASAMAĞA GÖRE YUVARLAK YAPMA
Bir ondalık kesri, kendisine eşit olarak alınabilecek yaklaşık değerlerle ifade etmeye yuvarlak yapma denir. Yaklaşık ifade etme sembolü » şeklindedir.
Bir ondalık kesri, verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için, bu basamağın sağındaki rakama bakılır. Rakamın sayı değeri;
· 5 ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve sağındaki basamaklar atılır.
· 5 ve 5 ten büyük ise, verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır ve sağındaki basamaklar atılır.

Ondalık Kesir Nedir?

ONDALIK KESİRLER

Paydası 10 veya 10’un kuvveti olacak şekilde genişletilebilen kesirlere ondalık kesir denir.Yada virgüllü olarak gördüğümüz ifadelere ondalık sayı denir.Bazı kitaplarda ondalık kesir veya ondalık sayı kullanılır. Örneğin 3,74 ondalık kesrindeki 3’e tam kısım, 74’e kesir kısım denir.

Devirli Ondalıklı Kesir: Paydası 10 veya 10’un kuvveti olacak şekilde genişletilemeyen kesirlerin, ondalık açılımlarının kesir kısımlarında tekrar eden rakamlar bulunur.Bu tür ondalık kesirler devirli ondalık kesir olarak adlandırılır.Yani virgülün sağında tekrar eden belli sayılar varsa bu tür ifadeler devirli ondalık sayılar denir.Bu tekrar eden sayı veya sayıların üzerine devir çizgisi çekerek durdurmuş oluruz.

Devirli ondalık kesre karşılık gelen kesri yani rasyonel sayıyı bulmak için izlenecek yol;

Pay için, sayı aynen yazılır devretmeyen kısım çıkarılır. Payda için, virgülden sonra devreden sayı kadar 9, devretmeyen sayı kadar 0 yazılır.

Ondalık Kesirlerde Sıralama
Ondalık kesirlerde sıralama yaparken önce tam kısımlara bakılır.Tamı büyük olan büyüktür.Eğer tam kısımlar eşitse hemen bir sağdaki onda birler basamağına bakılır.Onda birler basamağı büyük olan büyüktür.Buda eşitse hemen bir sağdaki yüzde birler basamağına bakılır.Yüzde birler basamağı büyük olan büyüktür.Buda eşitse hemen bir sağdakine bakılır.Sıralamada izlenecek yol bu şekilde devam eder.

Ondalık Kesirlerde Çözümleme ve Yuvarlama
Çözümleme yaparken virgülün sağı kesir kısım,virgülün solu tam kısım olduğu unutulmamalıdır.

Örnek: 245,326 ondalık kesrini çözümleyelim.

(2x100)+(4x10)+(5x1)+(3x0,1)+(2x0,01)+(6x0,001)
200+40+5+0,3+0,02+0,006 = 245,326

Ondalık kesirleri istenilen basamağa göre yuvarlarken, verilen basamağın sağındaki ilk rakam ile 5 arasında karşılaştırma yapılır.

Sağdaki rakam 5'e eşit yada 5’ten büyükse verilen basamaktaki rakam 1 arttırılır, sağındaki diğer sayılar atılarak ondalık kesir yazılır.Sağdaki rakam 5’ten küçükse verilen basamaktaki rakam değişmez, sağındaki diğer sayılar atılarak ondalık kesir yazılır.Eğer tam sayı olarak yuvarlarsa derse birler basamağına bakarız.Kurallar buradada geçerlidir.Örnek: 0,54 ondalık kesrini onda birler basamağına göre yuvarlayalım.

Verilen basamakta 5 var. 5’in sağına bakarız. 4<5 olduğundan ekleme yapılmaz.Diğerleri atılır.Yuvarlanmış hali ise 0,5 olur.

Örnek: 0,287 ondalık kesrini yüzde birler basamağına göre yuvarlayalım.

Verilen basamakta 8 var. 8’in sağına bakarız. 7>5 olduğundan 1 ekleme yaparız.Diğerleri atılır.Yuvarlanmış hali ise 0,29 olur.

Örnek: 16,51 ondalık kesrini tam sayı olarak yuvarlayalım.

Verilen basamakta 6 var. 6’nın sağına bakarız. 5=5 olduğundan 1 ekleme yaparız.Diğerleri atılır.Yuvarlanmış hali ise 17 tam olur.

Ondalık Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Ondalık kesirler toplanırken veya çıkarılırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

Ondalık Kesirlerde Çarpma
Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sonuçtaki sayıda o kadar sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

Ondalık Kesirlerde Bölme
Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.Burada her iki sayıda virgülden kurtarılır.

Ondalık kesirlerde 10, 100, 1000 ile kısa yoldan çarpma işlemleri yapmak için sıfır sayısı kadar virgül sağa kayar.Virgülün bittiği yerde sıfır ilave edilir.

Ondalık kesirlerde 10, 100, 1000 ile kısa yoldan bölme işlemleri yapmak için sıfır sayısı kadar virgül sola kayar. Virgülün bittiği yerde sıfır ilave edilir.

Bilindiği gibi matematiğin temel taşlarından birisi de kesirlerdir. Kesirlerde toplama işlemi nasıl yapılır, Kesirlerde çıkarma yada çıkartma işlemi nasıl yapılır, Kesirlerde çarpma işlemi nasıl yapılır, Kesirlerde bölme işlemi nasıl yapılır gibi bilgiler bulabileceğiniz yazımızda kesirlerle ilgili bir çok örnekte bulunmaktadır.

Kesirler​

Kesirler bir bütünün belli bir parçasını göstermek için kullandığımız ifadelerdir.

KESİR ÇEŞİTLERİ​

Birim Kesir: Eş parçalara ayrılmış olan bir bütünün eş parçalarından birisini gösteren kesirdir.

Basit Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir.

ÖRNEK PROBLEM​

Çözüm
Payı paydasından küçük olacağı için a < 7 olması gerekir.O halde 0 6 rakamlarını a yerine yazabiliriz.

Bileşik Kesir: Payı paydasından büyük ya da payı paydasına eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.

Yukarıda görüldüğü gibi bileşik kesirler 1 bütüne eşit veya 1 bütünden büyük olan kesirlerdir.

Çözüm: Payı paydasından büyük veya eşit olmalıdır.O yüzden a yerine 1 yazabiliriz.Yani a’ nın alabileceği 4 değer vardır.

* Bir sayının 0′ a bölümü tanımsızdır.

* 0′ ın 0′ dan farklı bir sayıya bölümü 0’dır.

* Her tam sayı paydası 1 olan bir kesirdir.

Tamsayılı Kesir: Bir bileşik kesrin tamsayılı kısmını ayırarak basit kesir cinsinden ifade edilmiş şekline tam sayılı kesir denir.

Bileşik kesir tamsayılı kesre çevrilirken pay paydaya bölünür.Bölüm tam kısma kalan ise paya yazılır.Kesrin paydası aynen paydaya yazılır.

ÖRNEK
Tam sayılı bir kesir bileşik kesre çevrilirken; kesrin t** kısmı ile payda çarpılır çarpıma pay eklenir.Sonuç paya yazılır.Kesrin paydası aynen yazılır.

KESİRLERİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİLMESİ​

Payda 3 olduğu için ardışık iki doğal sayının arası 3 eş parçaya bölünmüştür.

Yukarıdaki kesri gösterirken payda 4 olduğu için iki sayının arası 4 eş parçaya bölünmüştür.

KESİRLERİN SADELEŞTİRİLMESİ ve GENİŞLETİLMESİ​

Kesirlerde pay ve paydanın aynı sayı ile çarpılmasına genişletme aynı sayıya bölünmesine ise sadeleştirme denir.

ÖRNEK
Yukarıdaki kesir önce 2 ile sadeleştirilmiş elde edilen kesir de 8 ile sadeleştirilmiştir.

* 0(sıfır) ve 1 ile sadeleştirme ve genişletme yapılamaz

DENK KESİRLER​

Birbirlerinin sadeleştirilmiş veya genişletilmiş hali olan kesirlere denk kesirler denir.

Çözüm:

KESİRLERİ SIRALAMA​

Paydaları Eşit Olan Kesirlerin Sıralanması:

Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan diğerinden büyük payı küçük olan diğerinden küçüktür.

ÖRNEK:

Çözüm:
Payları Eşit Olan Kesirlerin Sıralanması:

Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan diğerinden büyüktür paydası büyük olan küçüktür.

Pay ve Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerin Sıralanması​

Pay ve paydaları eşit olmayan kesirleri sıralamak için önce paydalar eşitlenir.Sonra sıralama yapılır.

ÖRNEK:

* Sayı doğrusu üzerindeki her sayı sağında bulunan sayıdan küçük solunda bulunan sayıdan büyüktür.

KESİRLERLE TOPLAMA İŞLEMİ​

Paydaları Eşit Olan Kesirlerle Toplama İşlemi:

Paydaları eşit olan kesirler toplanırken; paylar toplamı paya yazılır.Ortak payda toplamın payda bölümüne aynen yazılır.

Tam sayılı kesirler toplanırken de;

Toplama İşleminin Özellikleri:​

a. Değişme Özelliği:
Toplama işleminde toplanan terimlerin yeri değiştirilse de toplam değişmez.

b. Birleşme Özelliği:
Üç kesir toplamında ilk iki kesrin toplamı ile üçüncü kesrin toplamı son iki kesrin toplamı ile ilk kesrin toplamı birbirine eşittir.

KESİRLERLE ÇIKARMA İŞLEMİ​

Paydaları Eşit Kesirlerle Çıkarma İşlemi:
Paydaları eşit olan kesirlerle çıkarma işlemi yapılırken; paylar çıkarılarak paya yazılır ortak olan payda da paydaya yazılır.

Tam sayılı kesirlerle çıkarma yapılırken tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilerek işlem yapılır ya da aşağıdaki örnekteki yol izlenir.(Tam sayıdan bir bütün alınarak işlem yapılır.) Aşağıda verilen üç yolu da dikkatlice inceleyiniz.

Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerle Çıkarma İşlemi:​

Paydaları eşit olmayan kesirlerle çıkarma işlemi yaparken; önce paydalar eşitlenir sonra işlem yapılır.

KESİRLERLE ÇARPMA İŞLEMİ​

Bir doğal sayı ile bir kesir çarpılırken; doğal sayı ile kesrin payının çarpımı çarpıma pay olarak yazılır.Kesrin paydası aynen alınarak paydaya yazılır.

Çarpma işleminin toplama ile yapılmasını görelim.(Çarpma toplamanın kısa yoldan yapılmasıdır.)

İki kesri çarpmak demek; bir kesrin diğer kesir kadarını bulmak demektir.İki kesri çarparken ;paylar çarpılarak paya yazılır paydalar çarpılarak paydaya yazılır.

Tam sayılı iki kesir birbiri ile çarpılırken; kesirler önce bileşik kesre çevrilir daha sonra çarpma işlemi yapılır.

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:​

Çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1’dir.

Çarpma işleminin yutan elemanı 0(sıfır)’dır.

Çarpımları 1 olan iki kesirden biri diğerinin çarpmaya göre tersidir.

KESİRLERLE BÖLME İŞLEMİ​

Bir kesir sayısı diğer bir kesir sayısına bölünürken; birinci kesri aynen yazılır ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

1’in bir kesre bölümü o kesrin çarpmaya göre tersine eşittir.

Her sayının 1’e bölümü kendisine eşittir.

0’ın bir kesre bölümü 0(sıfır)’a eşittir.

Bir kesrin 0(sıfır)’a bölümü anlamsızdır.

BİR BÜTÜNÜN BELİRTİLEN KESİR KADARINI BULMAK​

KESRİN KESRİNİ BULMAK
Bir kesrin verilen bir kesrini bulmak için iki kesir çarpılır.

KESRİ VERİLEN BÜTÜNÜ BULMA
Verilen bir kesrin bütününü bulmak için; kesre karşılık verilen sayı kesre bölünür.