Taylor Serisi
Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise (a = 0), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.
Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır. Bu çizim, sinx (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor.
Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).
Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f(x) fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere (a − r,a + r) aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:
Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:
Burada n!, n faktöriyeli; ƒ (n)(a) ise f fonksiyonunun n. dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir. f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)0 ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.
Maclaurin serisi
a=0 özel durumunda seri, Maclaurin serisi olarak adlandırılır:
Örnekler
Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.
x-1 için Maclaurin serisi,
geometrik serisidir.
x-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,
dir.
Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)
Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,
dir.
a = 0 noktasında ex üstel fonksiyonu için Taylor serisi
,
dir.
ex'in x'e göre türevi yine ex 'e ve e0 de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)n terimi, paydasındaysa n! terimi kalır.
Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise (a = 0), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.
Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır. Bu çizim, sinx (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor.
Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).
Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f(x) fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere (a − r,a + r) aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:
Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:
Burada n!, n faktöriyeli; ƒ (n)(a) ise f fonksiyonunun n. dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir. f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)0 ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.
Maclaurin serisi
a=0 özel durumunda seri, Maclaurin serisi olarak adlandırılır:
Örnekler
Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.
x-1 için Maclaurin serisi,
x-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,
Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)
Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,
a = 0 noktasında ex üstel fonksiyonu için Taylor serisi
,
ex'in x'e göre türevi yine ex 'e ve e0 de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)n terimi, paydasındaysa n! terimi kalır.
