Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım

BeReNN

Alyam?

Özel üye

• 18 Ekm 2011

• #11

Örnek (V) – logaritmalar ve sonsuzdaki kalıntı

integralini bulmaya çalışalım. Bu integrali bulmak için

fonksiyonunu incelememiz lazım. f(z) 'yi inşa edeceğiz öyle ki [0,3] aralığı üzerinde dallanma kesiği olacak (resimde kırmızı ile gösterilmiştir). Bunu yapmak içinse, logaritmanın iki tane dallanmasını seçiyoruz; yani

ve

z3 / 4 'ün kesiği bu yüzden

aralığı olurken, (3 − z)1 / 4 'ün kesiği

aralığı olur. Bu ikisinin çarpımının yani f(z)'nin kesiği [0,3] olur çünkü f(z) aslında

boyunca süreklidir. Bunun nedeni ise, z = − r < 0 iken, kesiğe üstten yaklaşırsak, f(z)'nin şu değeri almasıdır:

Alttan yaklaşırsak, f(z) şu değeri alır:

 

BeReNN

Alyam?

Özel üye

• 18 Ekm 2011

• #12

Ancak, exp( − 3 / 4πi) = exp(5 / 4πi) olduğu için kesiği geçerken bile süreklilik vardır. Bu da resimde z3 / 4 ve (3 − z)1 / 4'te kullanılan logaritmanın argumentine karşılık gelen değerlerin etiketlendiği iki yönlü siyah çember ile gösterilmiştir.

Burada resimde yeşil renkle gösterilen kontürü kullanacağız. Bunu yapmak için, kesiğin hemen üstünde ve altında yer alan doğru parçaları boyunca f(z)'nin aldığı değerleri hesaplamamız gerekir. Üst parça boyunca, f(z)'nin aldığı değer şudur:

Alt parça boyunca yine f(z)'nin aldığı değer şudur:

O zaman,

'nin üst parça boyuncaki integrali limitte

olurken, alt parça durumunda ise

olur.

Eğer limitte iki yeşil çember üzerinde alınan integrallerin değerinin sıfır olduğunu gösterebilirsek, o zaman aynı zamanda Cauchy kalıntı teoremi ile

'nın değerini de elde etmiş oluruz. Yeşil çemberlerin yarıçapını ρ ile gösterelim ve ρ < 1 / 1000 olsun.

iken ML-eşitsizliğini uygulayalım. Soldaki CL çemberi için şunu elde ederiz:

Benzer bir şekilde, sağdaki CR çemberi için şunu elde ederiz:

Şimdi Cauchy kalıntı teoremini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

Logaritmanın önceki dallanmasını kullanarak aşağıdaki ifade açıktır:

 

BeReNN

Alyam?

Özel üye

• 18 Ekm 2011

• #13

Resimde kutup mavi ile gösterilmiştir. O zaman, değer de

şeklinde sadeleşir.
Sonsuzdaki kalıntı için ise şu formülü kullanıyoruz:

Yerine koyarak,

ve

eşitliklerini elde ederiz. Burada kullandığımız gerçek ise, logaritmanın ikinci dallanması için − 1 = exp(πi) olmasıdır. Sonra, binom açılımını kullanarak

elde ederiz. Sonuç ise,

olur. Son olarak,

'nın değeri ise şu olur:

yani